Equação de Gauss
Antes de iniciar seus estudos, reflita sobre as questões abaixo, forme suas opiniões e confronte-as com a teoria apresentada em seguida. Suas ideias e sugestões são muito importantes para enriquecer nosso ensino e o seu aprendizado. Como desenvolver a expressão |
1. A Física e o cotidiano
Há três mil anos, os chineses já utilizavam o forno solar, construído com espelhos esféricos, que concentrava os raios do Sol sobre o alimento, como mostra o esquema a seguir:
Em relação ao espelho, o ponto P, onde eram colocados os alimentos, é o foco principal.
2. A Física e o mundo
O cambista e sua mulher, quadro de 1514 de Quentin Metsys (1466-1530), é um dos melhores e mais característicos exemplos da primitiva pintura flamenga, rica em detalhes, explorando a reflexão da luz em várias superfícies.
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A imagem observada no espelho convexo sobre a mesa é virtual, direita e
menor. |
3. A Física e o laboratório
1800: Carl Friedrich Gauss inicia uma revolução na Matemática, que afeta toda a Física.
Ao mostrar que as leis da geometria plana devem ser mudadas para descrever as superfícies curvas, ele sistematiza o estudo dos espelhos esféricos, mostrando que, apenas para ângulos de abertura de 10°, os espelhos produzem imagens com deformações previsíveis e de utilidade tecnológica. Define os raios paraxiais, próximos do eixo principal.
4. A Física e a evolução de seus conceitos
Sejam p e p’ as abscissas do objeto e da imagem, respectivamente. A Equação de Gauss relaciona p, p’ e f.
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f: distância focal
R: raio da curvatura do espelho
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De acordo com o sistema de eixos adotado (referencial de Gauss), temos a seguinte convenção de sinais:
| p > 0: objeto real p < 0: objeto virtual p’ > 0: imagem real p’ < 0: imagem virtual f > 0: espelho côncavo f < 0: espelho convexo |
Os espelhos curvos sempre fizeram parte da história da humanidade, tanto em aplicações práticas como para comprovar propriedades geométricas importantes. Século V a.C. – Os chineses já usavam espelhos esféricos côncavos para cozinhar os alimentos.
212 a.C. – Na An tiguidade, credita-se a Ar quimedes a queima dos navios romanos que as se diavam sua cidade, Siracusa, ao utilizar espelhos curvos para concentrar os raios solares.
Século I d.C. – Heron de Alexandria, ao estudar a propagação retilínea dos raios luminosos, destacou a necessidade da reta normal para definir os ângulos de incidência e de reflexão, pois as superfíces dos espelhos podiam ser curvas. Ele mesmo construiu espelhos curvos para produzir imagens deformadas.
1678: Chrystian Huygens cria um modelo ondulatório para os fenômenos ópticos estudando a refração e a reflexão em espelhos planos e curvos. |
Exercícios propostos
1. (FAM-MODELO ENEM) – O “espelho de cabeça para médicos" foi muito utilizado no passado. Com esse espelho, que possuía um orifício em seu centro para se enxergar através dele, os médicos podiam analisar seus pacientes sob uma boa iluminação, obtida pela projeção da luz refletida nesse espelho, sobre o paciente.
Para se ter um ponto luminoso de luz concentrada pela reflexão sobre a superfície do corpo do paciente, o médico deve posicionar o espelho a 12cm do paciente, o que permite concluir corretamente que o espelho em questão tem raio de curvatura, em centímetros, igual a
a) 12
b) 24
c) 36
d) 18
e) 6
2. (UFSM-RS) – Um objeto é colocado a 40cm do vértice de um espelho esférico côncavo com raio de curvatura de 30cm, conforme a figura.
Determine
a) a distância focal do espelho;
b) a distância da imagem ao espelho;
c) a natureza da imagem e seu posicionamento na frente ou atrás do espelho.
3. (MODELO ENEM) – 1800: Carl Friedrich Gauss inicia uma revolução na Matemática, que afeta toda a Física. Ao mostrar que as leis da geometria plana devem ser mudadas para descrever as superfícies curvas, ele sistematiza o estudo dos espelhos esféricos, mostrando que, apenas para ângulos de abertura de até 10°, os espelhos produzem imagens com deformações previsíveis e de utilidade tecnológica. Define os raios paraxiais, próximos do eixo principal.
Um objeto real é colocado a 80cm do vértice de um espelho esférico côncavo, cuja distância focal é igual a 30cm. A distância da imagem ao espelho será de:
a) 12cm
b) 24cm
c) 36cm
d) 48cm
e) 60cm
4. O telescópio Hubble utiliza espelhos esféricos.
Um objeto foi colocado sobre o eixo principal de um espelho esférico côncavo de raio de curvatura igual a 6,0 cm. A partir disso, é possível observar que uma imagem real foi formada a 12,0cm de distância do vértice do espelho.
Determine
a) a distância focal do espelho;
b) a distância do objeto ao vértice do espelho.
Gabarito
1. RESOLUÇÃO:
R = 2f = 2 . (12cm) = 24cm
Resposta: B
2. RESOLUÇÃO:
a) 
b) Aplicando-se a Equação de Gauss, temos:
c) A imagem conjugada pelo espelho côncavo é real, formando-se na frente do espelho, a 24cm dele.
3. RESOLUÇÃO:
Resposta: D
4. RESOLUÇÃO:
a) Espelho de aumento: côncavo
Distância Focal: 
b) Imagem real a 12,0cm do vértice: p’ = 12,0cm
Respostas:
a) 3,0cm
b) 4,0cm
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