Fundamentos da Cinemática II
1. Trajetória
Trajetória de um ponto material é o conjunto das posições ocupadas pelo ponto material no decurso do tempo, isto é, é a união de todas as posições por onde o ponto material passou.
| A linha geométrica P1, P2, …, Pn (união de todas as posições por onde o ponto material passou) é a trajetória do ponto material. |
Para uma trajetória plana, a equação da trajetória é a equação que relaciona as coordenadas cartesianas de posição x e y entre si.
Se o ponto material estiver em repouso, ele ocupa uma única posição no espaço, e a sua trajetória se reduz a um ponto.
Como a trajetória está ligada ao conceito de posição, concluímos que:
A trajetória depende do referencial. |
Exemplificando
Considere um avião voando em linha reta, paralela ao solo horizontal, com velocidade constante de valor 500km/h, em um local onde o efeito do ar é desprezível.
Num dado instante, o avião abandona uma bomba.
Qual a trajetória descrita pela bomba? (Veja a figura a seguir.)
A) Para um referencial ligado ao avião, a bomba terá apenas a queda vertical provocada pela ação da gravidade e sua trajetória será um segmento de reta vertical.
B) Para um referencial ligado à superfície terrestre, a bomba terá dois movimentos simultâneos:
(1) movimento horizontal para frente com a mesma velocidade do avião (500km/h), mantido graças à propriedade chamada inércia;
(2) movimento de queda vertical provocado pela ação da gravidade.
A superposição desses dois movimentos origina uma trajetória parabólica.
C) Para um referencial ligado à própria bomba, ela está em repouso e sua trajetória será um ponto.
2. Equação da trajetória
Consideremos uma partícula movendo-se ao longo de um plano. A posição da partícula é definida pelas suas coordenadas cartesianas x e y.
A equação da trajetória relaciona as coordenadas cartesianas x e y entre si.
Se conhecermos como x e y variam com o tempo t, para obter a equação da trajetória, basta eliminar a variável t.
Exemplo 1
x = 2,0t2 (SI) e y = 4,0t2 (SI)
Dividindo-se membro a membro:
 |
Como a relação y = f(x) é do 1.° grau, concluímos que a trajetória é retilínea.
Exemplo 2
x = 2,0t (SI) e y = 4,0t2 (SI)
Isolando-se o tempo na relação 
Substituindo-se o valor de t na relação y = f(t), vem:
| y = 1,0x2 | (SI) |
Como a relação y = f(x) é do 2.° grau, concluímos que a trajetória é parabólica.
Cada forma de trajetória: retilínea, parabólica, circular, elíptica etc., é traduzida por uma determinada equação da trajetória.
Exercícios Propostos
1. (CEFET-PI – MODELO ENEM) – Dois conceitos de fundamental importância no estudo da Mecânica são os de referencial e trajetória. Considere que o helicóptero na figura a seguir esteja subindo verticalmente em relação ao solo, com velocidade constante.
A trajetória descrita pelo ponto P da periferia da hélice é
a) retilínea para o piloto e uma circunferência para o observador no solo;
b) uma circunferência para o piloto e retilínea para o observador no solo;
c) uma circunferência para o piloto e uma circunferência para o observador no solo;
d) uma hélice cilíndrica para o piloto e retilínea para o observador no solo;
e) uma circunferência para o piloto e uma hélice cilíndrica para o observador no solo.
2. (UFMS – MODELO ENEM) – Uma das leis sobre segurança no trânsito, principalmente para os caminhões que transitam carregados com pedriscos, obriga que a carga seja coberta com lona, para evitar a queda de pedras soltas pela traseira, colocando em risco veículos que transitam atrás do caminhão. Considere que um caminhão, carregado com essas pedras e sem a cobertura de lona, está transitando em uma pista plana e horizontal e que, num certo instante, cai uma pedra da traseira do caminhão de uma altura h com relação ao solo. Considere também que um observador em repouso, ao lado da pista, vê o caminhão movimentando-se da direita para a esquerda no momento da queda da pedra. Assinale corretamente qual dos esboços abaixo melhor representa a trajetória da pedra vista pelo observador. Despreze efeitos de resistência do ar.
3. (UFMG – MODELO ENEM) – Uma menina e seu pai viajavam em um ônibus por uma estrada plana e reta, assentados, lado a lado, em poltronas localizadas no lado do corredor. A menina deixou cair uma bala no corredor, enquanto o ônibus se deslocava com velocidade constante.
A figura a seguir mostra quatro possíveis trajetórias da bala em queda, que poderiam ser vistas em diferentes referenciais.
A trajetória da bala que mais se aproxima daquela vista pelo pai é a:
a) trajetória 1.
b) trajetória 2.
c) trajetória 3.
d) trajetória 4.
e) trajetória 5.
4. Uma partícula está em movimento em um plano de modo que suas coordenadas cartesianas de posição x e y variam com o tempo t, segundo as relações:
x = 2,0t2 (SI)
y = 8,0t2 (SI)
a) Obter a equação da trajetória y = f(x);
b) Especificar, justificando, qual a forma da trajetória.
Gabarito
1. RESOLUÇÃO:
A trajetória depende do referencial adotado:
1) Para um observador fixo no helicóptero (piloto), o ponto P terá uma trajetória circular.
2) Para um observador fixo no solo, o ponto P terá um movimento que resulta da composição de um movimento circular horizontal com um movimento vertical com velocidade constante, originando uma trajetória com a forma de uma hélice cilíndrica.
Resposta: E
2. RESOLUÇÃO:
Em relação ao solo terrestre, a pedra tem dois movimentos simultâneos:
1) Movimento horizontal para a esquerda com a mesma velocidade do caminhão, mantido por inércia.
2) Movimento vertical provocado pela ação da gravidade.
A simultaneidade (superposição) desses dois movimentos origina o chamado movimento balístico com uma trajetória parabólica.
Resposta: D
3. RESOLUÇÃO:
I) Em relação ao ônibus, a trajetória é vertical (2).
II) Em relação ao solo terrestre, a trajetória é parabólica (4).
Resposta: B
4. RESOLUÇÃO:
b) A função que relaciona as coordenadas cartesianas é do 1.o grau; logo, a trajetória é retilínea.
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