Fundamentos da Cinemática III
1. Espaço
Considere uma trajetória orientada e um ponto O escolhido arbitrariamente como referência (vide figura).
Seja A a posição do ponto material em um instante t.
Define-se espaço (s), no instante t, como sendo a medida algébrica (leva em conta o sinal) do arco de trajetória OA. |
O espaço (s) indica apenas onde está o móvel na trajetória, isto é, o espaço é um indicador da posição do móvel.
O espaço não indica a distância que o móvel percorreu, mas apenas o local onde ele se encontra.
O espaço pode ser positivo (ponto A), negativo (ponto B) ou nulo (ponto O).
O ponto de referência (O) é denominado origem dos espaços.
Dizer que o espaço (s) é nulo, num dado instante, significa apenas que, naquele instante, o móvel está posicionado na origem dos espaços.
Exemplificando
Consideremos um carro em movimento de São Paulo para Campinas.
Admitamos que a distância entre São Paulo e Jundiaí seja 60km e de Jundiaí a Campinas, 30km, medidas ao longo da estrada.
Tomemos Jundiaí como sendo a origem dos espaços e orientemos a trajetória de São Paulo para Campinas.
Quando o carro parte de São Paulo, o seu espaço vale –60km, ao passar por Jundiaí o espaço vale zero e, ao chegar a Campinas, o espaço vale +30km.
Se tomássemos São Paulo como origem (marco zero da estrada), o valor do espaço seria dado pela "quilometragem" marcada à beira da estrada.
Assim, por exemplo, quando o carro passa pelo "km 20", significa que o espaço vale 20km, isto é, o carro está a 20km da origem dos espaços (a 20km de São Paulo).
Se adotarmos Campinas como origem dos espaços, quando o carro partir de São Paulo ele terá um espaço inicial igual a –90km (s0 = –90km); ao passar por Jundiaí o seu espaço valerá –30km (sJ = –30km) e, ao chegar a Campinas, o seu espaço valerá zero.
2. Variação de espaço e distância percorrida
O espaço (s) é um indicador da posição (local) do móvel em cada instante (t).
A variação de espaço ou deslocamento escalar indicado por 
s é a diferença entre o espaço final (s2) e o espaço inicial (s1) num dado intervalo de tempo.
|
s = s2 – s1A distância percorrida (d) somente coincidirá com o valor absoluto de s quando o móvel caminhar sempre no mesmo sentido, isto é, quando não houver inversão no sentido do movimento.
Exemplificando
Consideremos um móvel descrevendo a trajetória retilínea indicada a seguir.
O móvel passa por A no instante t0 = 0, passa por B no instante t1, para no ponto C no instante t2, inverte o sentido de seu movimento e chega a B no instante t3.
A variação de espaço (s), entre os instantes t0 e t3, é dada por:
s = sB – sA = 5m – 2m  |
|
A distância percorrida, entre os instantes t0 e t3, é dada por:
| d = AC + CB = 5m + 2m | d = 7m |
3. Função horária do espaço: s = f(t)
Quando um ponto material está em repouso, o seu espaço permanece constante, podendo ser igual a zero (parado na origem dos espaços) ou diferente de zero (parado fora da origem dos espaços).
Quando um ponto material está em movimento, o seu espaço (s) varia com o tempo (t).
A função que relaciona o espaço (s) com o tempo (t) é denominada função horária do espaço. |
A função horária do espaço é também chamada de equação horária do movimento. Essa denominação é equivocada, pois, na realidade, trata-se de uma função, e não de uma equação.
Quando a equação horária é do 1.° grau, temos o movimento chamado uniforme.
Quando a equação horária é do 2.° grau, temos o movimento chamado uniformemente variado.
Exemplos
Movimentos uniformes
(1) s = 2,0 + 5,0t (SI)
(2) s = 4,0t (SI)
Movimentos uniformemente variados
(3) s = –3,0 + 8,0t – 5,0t2 (SI)
(4) s = 4,0 + 2,0t2 (SI)
(SI) significa Sistema Internacional de Unidades; o tempo (t) é medido em segundos e o espaço (s) é medido em metros.
4. Espaço inicial (s0)
Denomina-se origem dos tempos, instante inicial ou instante de referência o instante t = 0.
Na origem dos tempos, o móvel ocupa uma posição (P0) que é definida por um espaço (s0) denominado espaço inicial. |
Observe que o espaço inicial (s0) indica apenas onde está o móvel no instante t = 0.
Nas equações de (1) a (4), citadas no item 3, o espaço inicial vale, respectivamente:
(1) s0 = 2,0m;
(2) s0 = 0;
(3) s0 =–3,0m;
(4) s0 = 4,0m.
Um instante t positivo significa posterior à origem dos tempos e um instante t negativo significa anterior à origem dos tempos. |
Não se pode confundir a origem dos tempos (instante t = 0) com a origem dos espaços (posição em que s = 0).
Quando o espaço inicial é nulo (s0 = 0), então, na origem dos tempos (t = 0), o móvel está posicionado na origem dos espaços (s = 0).
Saiba mais
O espaço (s) é um indicador da posição do móvel ao longo da trajetória. Em uma estrada, o marco "zero" corresponde à origem dos espaços e a quilometragem marcada à beira da estrada indica o valor do espaço. Quando um guarda rodoviário descreve em seu relatório que um acidente ocorreu no km 70 da rodovia, ele está indicando apenas o "local", isto é, a posição onde aconteceu o acidente. Isso não significa que o carro percorreu 70km, mas apenas que, no momento do acidente, ele estava posicionado a 70km do marco zero da rodovia. |
Exercícios Propostos
1. Podemos definir o espaço como sendo a distância do móvel até a origem dos espaços? Justifique-o.
2. (FUVEST – MODELO ENEM) – O gráfico representa o espaço (s) em função do tempo (t) de dois carrinhos de autorama, A e B, que descrevem uma mesma trajetória retilínea. A variação do espaço para o carrinho A é linear, enquanto a do carrinho B segue uma curva.
a) A distância inicial entre os carrinhos (t = 0) vale 50cm. Assinale a proposição correta.
b) Os carrinhos somente se encontrarão no instante t = 10s.
c) Entre os encontros, os carrinhos percorrem uma distância de 70cm.
d) Entre os instantes 0s e 20s, o carrinho A percorreu 40cm.
e) Entre os instantes 0s e 10s, o carrinho B percorreu 20cm.
3. (UFPel-RS – MODELO ENEM) – O gráfico representa a diferença das posições (x1 – x2), em função do tempo t, de dois automóveis A1 e A2, que partem do repouso e que se movem sobre o eixo X, ao longo de um determinado percurso. Considere x1 e x2 positivos.
a) o automóvel A1 esteve à frente do automóvel A2 durante todo o percurso.A partir do gráfico, é correto afirmar que
b) o automóvel A2 esteve à frente do automóvel A1 durante todo o percurso.
c) o automóvel A1 ultrapassou o automóvel A2 no instante t = 2s.
d) o automóvel A2 ultrapassou o automóvel A1 no instante t = 3s.
e) houve três ultrapassagens durante todo o percurso.
4. Um carro desenvolve, em uma trajetória reta, um movimento descrito pela seguinte função horária do espaço:
s = 200 – 50t (para s em km e t em h)
O ponto "0" representa a origem dos espaços.
a) Qual a posição do carro no instante t = 1,0h?
b) Em que instante o carro passa pela origem dos espaços?
Gabarito
1. RESOLUÇÃO:
O espaço é medido ao longo da trajetória: é o comprimento do arco de trajetória entre a origem e a posição do móvel, associado a um sinal.
Distância é definida, em Matemática, sempre em linha reta. Se a trajetória for retilínea, então a distância entre o móvel e a origem dos espaços coincidirá com o valor absoluto do espaço.
2. RESOLUÇÃO:
a) Falsa. A distância inicial vale 60cm.
b) Falsa. Os carrinhos se encontram nos instantes t1 = 10s e t2 = 20s.
c) Verdadeira. Ds = 90cm – 20cm = 70cm
d) Falsa. s1 = –50cm; s2 = 90cm
s = s2 – s1 = 140cm
e) Falsa. s1 = 10cm; s2 = 20cm
s = s2 – s1 = 10cm
Resposta: C
3. RESOLUÇÃO:
x2 > x1 significa A2 à frente de A1.x1 > x2 significa A1 à frente de A2.
Até o instante t = 3s, x1 > x2 e A1 esteve à frente de A2.
A partir do instante t = 3s, x1 < x2 e A2 esteve à frente de A1.
Portanto, A2 ultrapassou A1 no instante t = 3s.
Resposta: D
4. RESOLUÇÃO:
a) Para t = 1,0h, da função horária dos espaços, obtemos:
s = 200 – 50 . (1,0) (km) 
s = 150km (ponto Q)
b) Quando o carro passar pela origem dos espaços, teremos s = 0.
Substituindo-se na função horária, teremos:
0 = 200 – 50t t = 4,0h
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