Ondas periódicas

Embora a propagação de pulsos se já de natureza ondulatória, o seu estudo não permite a abordagem de todas as características desse movimento. Para isso, é necessário considerar uma série contínua de pulsos. A figura abaixo representa uma foto instantânea de uma onda gerada em uma mola por uma fonte oscilante F.

Se F produzir oscilações regulares, de período constante, a mola será percorrida por ondas periódicas. Se as oscilações forem harmônicas simples, ou se já, cada ponto da mola oscilar com movimento harmônico simples (MHS), vão se propagar pela mola ondas harmônicas simples. Para entender o que é MHS, veja a figura a seguir:

Quando o bloco preso à mola ( a) é puxado e solto (b), ele adquire um movimento oscilante, periódico, chamado de movimento harmônico simples (MHS). Se associarmos a esse movimento um referencial vertical com origem (O) no ponto de repouso, as posições extremas serão 1A e 2A (c) (amplitude (A) do movimento). O intervalo de tempo gasto pelo bloco para descrever uma oscilação completa — passar duas vezes sucessivas pela mesma posição — é o período (T) do movimento.

O in verso do período corresponde à frequência (f ):número de oscilações completas descritas pelo bloco em uma unidade de tempo.

Há sistemas oscilantes que executam um MHS aproximado. É o caso do pêndulo simples, quando oscila c om pequena amplitude, limitada a ângulo θ , 10°. Veja a figura ao lado.

Frequência e período

Observe agora a sequência a seguir:

Ela representa uma onda gerada por uma lâmina vibrante propagando se em uma mola, em cinco instantes sucessivos. Em I, III e V , os pontos L e P estão momentaneamente em repouso; em II e IV, suas velocidades são máximas. Consideremos um ponto L na extremidade da lâmina (supõe se que as oscilações nesse ponto sejam suficientemente pequenas para que ele se movimente em um pequeno segmento de reta) e um ponto P na mola na mesma fase de L (veremos o conceito de fase logo a seguir). A oscilação vertical da extremidade L vinculada à extremidade da mola gera a onda que nela se propaga e f az o ponto P da mola oscilar também verticalmente. Observas e então, na figura, que os pontos L e P descrevem uma oscilação completa (de I a V) no mesmo intervalo de tempo. Assim, podemos concluir que o período (T) e a frequência (f) da oscilação da extremidade L da lâmina (fonte da onda) são iguais ao período e à frequência da própria onda, sendo, para ambos, válidas as relações:

Amplitude, fase e comprimento de onda

Observe a figura a seguir:

 

Enquanto a onda se propaga, os pontos materiais P1, P2, P3 e P4 oscilam com velocidades v &1, v &2, v &3 e v &4.

Estabelecido o referencial representado na figura acima, a amplitude A de uma onda é, por definição, o módulo da ordenada máxima de um ponto dessa onda. Para definir comprimento de onda, é preciso entender a ideia de fase de um ponto em movimento oscilatório. Observe novamente a figura acima. Os pontos P1, P2, P3 e P4 têm a mesma ordenada y, mas não têm velocidades de mesmo sentido. Enquanto P1 e P3 sobem, P2 e P4 descem. Por essa razão, só os pares (P1 , P3) e (P2, P4) estão na mesma fase. A distância entre eles é o comprimento de onda, representado pela letra grega λ (lambda). Em qualquer onda existem muitos pontos na mesma f ase, como os pontos C da crista (pontos de ordenada máxima). Assim, define se comprimento de onda (λ) como a menor distância entre dois pontos na mesma fase.

Velocidade de propagação

Para a propagação ondulatória, só tem sentido utilizar o conceito de velocidade escalar média. Assim, da expressão    

, obtemos a velocidade de propagação,dividindo o espaço que a onda per corre pelo correspondente intervalo de t empo. A velocidade de propagação de uma onda não é a mesma grandeza que expressa a velocidade de uma partícula. A grande diferença entre esses conceitos reside no caráter vetorial da velocidade da partícula, que não existe na velocidade de propagação da onda. É possível decompor a velocidade de um projétil, em um lançamento oblíquo, para determinar o alcance ou a altura máxima que ele atinge; é possível somar vetorialmente a velocidade de um barco com a velocidade da correnteza, mas nada disso é possível com movimentos ondulatórios. E, se duas ondas atravessam a mesma região do espaço, suas velocidades não se somam nem algébrica nem vetorialmente. As ondas se cruzam sem sofrer nenhuma alteração. A razão física para essas diferenças é simples: enquanto a velocidade de uma partícula se relaciona a algo que efetivamente se desloca — a partícula —, a velocidade

de propagação não se relaciona a nenhum deslocamento de partículas — em uma onda elas apenas oscilam, não se deslocam nem, a rigor, “fazem parte” da onda, mas do meio em que ela se propaga. O que se desloca é a forma da onda. É por meio da forma que a onda transmite a energia para o ambiente. Por isso a velocidade de propagação é também chamada de velocidade de fase, pois a fase é uma grandeza estritamente ligada à forma da onda. 

Observe a figura a seguir:

Na sequência de I a V, enquanto a crista C percorre a distância correspondente a um comprimento de onda, o ponto P efetua uma oscilação completa. Portanto, o intervalo

de t empo correspondente a esse per curso é igual ao período T da onda. Assim, voltando à expressão da velocidade escalar média, enquanto a crista C da onda percorre a distância Δe = λ, o intervalo de tempo transcorrido é Δt = T. Portanto, a velocidade de propagação da onda é:

Se a fonte é harmônica simples, o período e a frequência são constantes. O comprimento de onda também é constante, porque a velocidade de propagação da onda é constante, pois depende apenas das propriedades do meio em que ela se propaga. Assim, pode se demonstrar que a velocidade de propagação de uma onda numa corda é dada por:

em que F é o módulo da tensão na corda e μ a sua densidade linear. Se a velocidade de propagação da onda é constante, a partir da expressão v = λf, concluímos que frequência e comprimento de onda são sempre grandezas inversamente proporcionais. Assim, quando a frequência da fonte geradora de uma onda dobra, triplica ou quadruplica, o comprimento de onda se reduz, respectivamente, à metade, a um terço ou a um quarto.

Veja a figura:

Relação entre frequência e comprimento de onda. Neste exemplo, para uma determinada corda, f1 é o dobro de f2 e λ1 é a metade de λ2.

EXERCÍCIO RESOLVIDO

1.A figura abaixo foi obtida a partir de uma foto instantânea de ondas que per correm uma corda com velocidade de propagação v = 0,16 m/s.

A partir da observação dessa figura, determine:

a) a amplitude e o comprimento dessa onda;

b) a frequência e o período da onda.

RESOLUÇÃO

Observação: A foto instantânea a que o enunciado se refere não permite saber qual o sentido de propagação da onda, o que, neste caso, é irrelevante. O enunciado sugere que esse sentido coincide com o sentido positivo do eixo, pois a velocidade de propagação é positiva. Mesmo não sendo um vetor ,é correto associar à velocidade de propagação um sinal positivo quando a propagação tem o mesmo sentido do eixo; e negativo, quando o sentido for o oposto.

2-Uma fonte oscilante harmônica simples gera um trem de ondas numa corda de densidade linear μ 5 0,20 k g/m, tracionada pela carga de peso P 5 5,0 N. A figura mostra a distância entre dois pontos sucessivos em que essa onda corta o eixo x. Determine:

a) a velocidade de propagação dessa onda;

b) a frequência de oscilação da fonte.