MOVIMENTO CIRCULAR E UNIFORME

Movimento circular e uniforme

Quando um planeta gravita em torno de uma estrela, sua órbita pode ter a forma de uma circunferência ou a forma de uma elipse.

Se a órbita for circular, o movimento orbital será necessariamente uniforme.

Um satélite estacionário em relação à Terra (parado para um observador na superfície terrestre) tem órbita circular e movimento uniforme, gastando 24h para dar uma volta completa. Esse satélite é usado em telecomunicações.

A órbita da Lua em torno da Terra, embora seja elíptica, é quase circular e o movimento orbital da Lua pode ser considerado circular e uniforme e o tempo gasto pela Lua para uma volta completa é de aproximadamente 27,3 dias.

Os ponteiros das horas, minutos e segundos de um relógio convencional têm suas extremidades descrevendo trajetórias circulares, com movimentos uniformes.

Os ponteiros das horas, minutos e segundos gastam, respectivamente, 12h, 1h e 1min para darem uma volta completa.

Os exemplos citados mostram que o movimento circular uniforme está presente na natureza e na nossa vida cotidiana.

1. Ângulo horário ou fase (j)

Considere um ponto material descrevendo uma circunferência de centro C e raio R, com origem dos espaços em O.

Seja P a posição do móvel em um instante t. A medida do arco de trajetória OP é o valor do espaço s, no instante t.

Define-se ângulo horário ou fase (j) como sendo o ângulo formado entre o vetor posição e o eixo de referência CO.

A medida do ângulo j, em radianos, é dada por:

2. Velocidade angular

Seja Dj = j₂ – j₁ a variação do ângulo horário em um intervalo de tempo Dt = t₂ – t₁.

Define-se velocidade escalar angular média (w) pela relação:

No SI, Dt é medido em segundos e w é medido em rad/s.

3. Movimento periódico

Conceito

Um movimento é chamado periódico quando todas as características do movimento (posição, velocidade e aceleração) se repetem em intervalos de tempos iguais.

O movimento circular e uniforme é um exemplo de movimento periódico, pois, a cada volta, o móvel repete a posição, a velocidade e a aceleração e, além disso, o tempo gasto para dar uma volta é sempre o mesmo.

Período (T)

Define-se período (T) como sendo o menor intervalo de tempo para que haja repetição das características do movimento.

No movimento circular e uniforme, o período é o intervalo de tempo para o móvel dar uma volta completa.

Frequência (f)

Define-se frequência (f) como sendo o número de vezes que as características do movimento se repetem na unidade de tempo.

No movimento circular e uniforme, a frequência é o número de voltas realizadas na unidade de tempo.

Se o móvel realiza n voltas em um intervalo de tempo Dt, a frequêncime f é dada por:

Relação entre período e frequência

Quando o intervalo de tempo é igual ao período (Dt = T), o móvel realiza uma volta (n = 1) e, portanto, temos:

Unidades

As unidades SI de período e frequência são:

4. Relações fundamentais

Velocidade escalar linear (V)

Para uma volta completa, temos Ds = 2pR e Dt = T, das quais:

Velocidade escalar angular (w)

Para uma volta completa, temos Dj = 2p e Dt = T, das quais:

Relação entre V e w

Da expressão V = 2p f R, sendo w = 2p f, vem:

V = w R

Linerar

Angular

5. Vetores no MCU

Velocidade vetorial

No movimento circular e uniforme, a velocidade vetorial tem módulo constante, porém direção variável e, portanto, é variável.

Aceleração vetorial

Sendo o movimento uniforme, a componente tangencial da aceleração vetorial é nula .

Sendo a trajetória curva, a componente centrípeta da aceleração vetorial não é nula .

Saiba mais

Satélites estacíonáros

Os três satélites da figura são estacionários, isto é, estão parados em relação à superfície terrestre. São utilizados em telecomunicações e conseguem cobrir, praticamente, toda a superfície terrestre.

Um satélite estacionário tem movimento circular uniforme em torno do centro da Terra, com período de 24h e com sua órbita contida no plano equatorial da Terra.

Aceleração centrípeta

O valor da aceleração centrípeta pode ser calculado pelas seguintes expressões:

Para obtermos a relação (II), basta substituirmos, em (I), V por wR.

Para obtermos a relação (III), basta substituirmos, em (I), R por .

Observe que, no movimento circular e uniforme, a aceleração vetorial (centrípeta) tem módulo constante (v²/R), porém direção variável e, portanto, é variável.

Observe ainda que, no movimento circular uniforme, a velocidade vetorial (tangente à trajetória) e a aceleração vetorial (normal à trajetória) têm direções perpendiculares entre si.

Exercícios Propostos

1. Pivô central é um sistema de irrigação muito usado na agricultura, em que uma área circular é projetada para receber uma estrutura suspensa. No centro dessa área, há uma tubulação vertical que transmite água através de um cano horizontal longo, apoiado em torres de sustentação, as quais giram, sobre rodas, em torno do centro do pivô, também chamado de base, conforme mostram as figuras. Cada torre move-se com velocidade escalar linear constante.

Um pivô de três torres (T₁, T₂ e T₃) será instalado em uma fazenda, sendo que as distâncias entre torres consecutivas bem como da base à torre T₁ são iguais a 50 m. O fazendeiro pretende ajustar as velocidades das torres, de tal forma que o pivô efetue uma volta completa em 25 horas. Use 3 como aproximação para .

Para atingir seu objetivo, as velocidades escalares lineares das torres T₁, T₂ e T₃ devem ser, em metros por hora, de

a) 12, 24 e 36.

b) 6, 12 e 18.

c) 2, 4 e 6.

d) 300, 1200 e 2700.

e) 600, 2400 e 5400.

2. (VUNESP-UEA-MODELO ENEM) – A vantagem de se construir bases de lançamento de foguetes nas proximidades da linha do equador terrestre é que o foguete já parte com uma velocidade maior, dada pela rotação da Terra. No Brasil, o Centro de Lançamento de Alcântara (CLA) apresenta esse requisito.

(www.cta.br. Adaptado.)

a) Sendo a velocidade angular de rotação da Terra = rad/h e supondo-se que no CLA o raio de rotação seja de 6360km, a velocidade escalar, em km/h, de um foguete instalado na superfície do CLA é

c) 12 .

d) 350 .

e) 530 .

3. (UFPA-MODELO ENEM) – O escalpelamento é um grave acidente que ocorre nas pequenas embarcações que fazem transporte de ribeirinhos nos rios da Amazônia. O acidente ocorre quando fios de cabelos longos são presos ao eixo desprotegido do motor. As vítimas são mulheres e crianças que acabam tendo o couro cabeludo arrancado. Um barco típico que trafega nos rios da Amazônia, conhecido como “rabeta", possui um motor com um eixo de 80mm de diâmetro, e este motor, quando em operação, executa 3000rpm.

Considerando-se que, nesta situação de escalpeamento, há um fio ideal que não estica e não desliza preso ao eixo do motor e que o tempo médio da reação humana seja de 0,8s (necessário para um condutor desligar o motor), é correto afirmar que o comprimento deste fio que se enrola sobre o eixo do motor, neste intervalo de tempo, é um valor mais próximo de:

Adote: = 3

a) 602m

b) 96m

c) 30m

d) 20m

e) 10m

4. (VUNESP-INSPER-MODELO ENEM) – A indústria automobilística estabelecida no Brasil produz uma imensa variedade de automóveis, tanto de pequeno, como de médio ou de grande porte. São diversos tipos de motorização, de acabamento, de opcionais visando ao conforto e à segurança, tudo para atrair o consumidor.

Imagine dois automóveis, F e R, deslocando-se pela mesma rodovia. As rodas de F têm diâmetro de 13 polegadas, enquanto as de R têm diâmetro de 16 polegadas. O automóvel R desloca-se com uma velocidade escalar 20% maior que a de F.

É correto afirmar que a frequência de giro das rodas de R é

a) 26% maior que a de F.

b) 35% menor que a de F.

c) praticamente a mesma de F.

d) 16% maior que a de F.

e) 13% menor que a de F.

Exercícios Propostos

1. (ACAFE-SC-MODELO ENEM) – O funcionamento do limpador de para-brisa deve ser verificado com o motor ligado, nas respectivas velocidades de acionamento, devendo existir no mínimo 02 (duas) velocidades distintas e parada automática (quando aplicável). A velocidade angular menor deve ser de 20 ciclos por minuto e a maior com, no mínimo, 15 ciclos por minuto a mais do que a menor.

Disponível em: <Ministério do Desenvolvimento, Indústria e Comércio Exterior - MDIC
Instituto Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial - INMETRO
Portaria n.o 30 de 22 de janeiro de 2004>. Acesso em: 25 de ago. 2017.

Considere um automóvel com o limpador de para-brisa dianteiro (raio de 40cm) e traseiro (raio de 20cm), como mostra a figura.

Com base no exposto, assinale a alternativa correta para as razões _dianteiro/_traseiro e V_dianteiro/V_traseiro, respectivamente, para pontos na extremidade dos limpadores deste automóvel, se a velocidade de acionamento do traseiro for a menor e do dianteiro for a maior.

(Tome os movimentos como circulares e uniformes).

Nota

= velocidade escalar angular

V = velocidade escalar linear

2. (VUNESP-UEAM-MODELO ENEM) – A imagem mostra o Relógio Municipal de Manuas.

Considere dois pontos nos ponteiros desse relógio, um deles, M, situado na extremidade do ponteiro dos minutos e outro, H situado na extremidade do ponteiro de horas, cujo comprimento é menor do que o dos minutos.

Com relação às velocidades escalares lineares e angulares desses pontos, é correto afirmar que

a) ambas são maiores para o ponto M.

b) ambas são maiores para o ponto H.

c) ambas são iguais nos dois casos.

d) angulares são iguais e as lineares diferentes.

e) as lineares são iguais e as angulares diferentes.

3. (VUNESP-FMJ-MODELO ENEM) – Os satélites geoestacionários orbitam a Terra em movimento circular e uniforme a uma distância próxima de 42 400km de seu centro, trocando informações com antenas fixas na Terra. Para que isso seja possível, esses satélites giram com a mesma velocidade angular com que a Terra gira em torno de seu eixo imaginário.

(www.emaze.com. Adaptado.)

Considerando-se um satélite geoestacionário nas condições descritas, é correto afirmar que

a) sua velocidade escalar é igual à das antenas fixas.

b) seu período de translação ao redor da Terra é próximo de 12h.

c) sua aceleração é igual a zero.

d) sua velocidade escalar não depende de sua massa.

e) sua velocidade escalar é menor do que a das antenas fixas.

4. Dois discos estão fixos em um eixo e separados por uma distância de 25cm.

O eixo gira com frequência constante de 1200rpm. Um projétil com velocidade constante de módulo V se desloca paralelamente ao eixo e perfura os dois discos.

O desvio angular entre as duas perfurações é de 12°.

Calcule

a) o intervalo de tempo t que o projétil gasta no trajeto entre os discos;

b) o valor de V.

Exercícios Propostos

1. A Lua descreve em torno do centro da Terra um movimento circular e uniforme com velocidade de translação com módulo V = 1,0 . 10³m/s e período de translação T = 27,3 dias 2,4 . 10⁶s.

Determine

a) o raio R da órbita lunar (distância entre os centros da Terra e da Lua). Adote = 3;

b) o módulo a_C da aceleração centrípeta da Lua em seu movimento orbital.

2. (OBFEP-MODELO ENEM) – Além de promover a fotossíntese e acolher ecossistemas, uma floresta ajuda na evaporação, interferindo no controle de temperatura e no regime de chuvas de uma região. A exploração econômica desenfreada de uma floresta pode fazê-la desaparecer. Assim, o combate ao desmatamento ilegal na maior floresta tropical do mundo, a Amazônica, é uma das mais importantes ações brasileiras para o desenvolvimento sustentável. Contudo, além do desmatamento destruir a floresta nativa, ele chegou a ser responsável por 60% da poluição anual que o Brasil lançou na atmosfera. Medidas relacionadas a isso foram tomadas e, nos últimos anos, o Plano de Ação para a Prevenção e Controle do Desmatamento da Amazônia Legal (PPCDAm), por exemplo, reduziu, em média, 75% a taxa de desmatamento anual.

O PPCDAm conta com um dos maiores sistemas de monitoramento do mundo, operando com ajuda de satélites equipados exclusivamente para esse fim. O CBERS-1 e o CBERS-2 são satélites que fazem parte desse sistema. Eles foram colocados em órbita por meio de foguetes chineses, pois não possuem sistemas de propulsão. Para que se tornassem geoestacionários, ficando sempre sobre a região amazônica e descrevendo movimentos circulares e uniformes, foram lançados com velocidade de módulo 1,2 . 10⁴km/h em um local cuja aceleração da gravidade tem módulo igual a 3,0 . 10³km/h². Obedecendo aos dados oferecidos e considerando-se que o raio da Terra mede 6,0 . 10³km, qual a altitude das órbitas desses satélites?

a) 3,6 . 10⁴km

b) 4,2 . 10⁴km

c) 4,6 . 10⁴km

d) 5,2 . 10⁴km

e) 6,0 . 10⁴km

3. O Brasil pode transformar-se no primeiro país das Américas a entrar no seleto grupo das nações que dispõem de trens-bala.

O Ministério dos Transportes prevê o lançamento do edital de licitação internacional para a construção da ferrovia de alta velocidade Rio-São Paulo. A viagem ligará os 403,2 quilômetros entre a Central do Brasil, no Rio, e a Estação da Luz, no centro da capital paulista, em uma hora e 24 minutos (isto é, 1,4 h).

Disponível em http://oglobo.globo.com. Acesso em: 14 jul 2009.

Devido à alta velocidade, um dos problemas a ser enfrentado na escolha do trajeto que será percorrido pelo trem é o dimensionamento das curvas. Considerando-se que uma aceleração lateral confortável para os passageiros e segura para o trem seja de 0,1g, em que g é o módulo da aceleração da gravidade (considerado igual a 10m/s²), e que a velocidade escalar do trem se mantenha constante em todo o percurso, seria correto prever que as curvas existentes no trajeto deveriam ter raio de curvatura mínimo de

a) 80m

b) 430m

c) 800m

d) 1600m

e) 6400m

4. (UERN-MODELO ENEM) – Seguir uma trajetória correta nas curvas é algo fundamental para a segurança do motociclista. Na estrada, encontramos o mais variado gênero de curvas; de raio crescente, sucessivas, em variados ângulos.

(...) Antes de chegar a uma curva, devemos ter em mente como efetuar a manobra e, supostamente, conhecer a curva em questão. Devemos também decidir qual a velocidade, quando e onde vamos frear, porque nem todos o fazem de idêntico modo. Realizar tudo isto permite circular com superior segurança, porque o nosso cérebro passa a coordenar antecipadamente todas as manobras.

(http://www.motoesporte.com.br/site/dicas/como-fazer-curvas)

Um motociclista percorre uma curva que corresponde a um arco de circunferência de 60° com velocidade escalar constante de 108km/h e aceleração centrípeta de módulo 2,5m/s². Considerando-se = 3, o intervalo de tempo gasto para percorrer toda a curva é

a) 10s

b) 12s

c) 15s

d) 20s

e) 25s

Exercícios Propostos

1. Duas polias, Y e X, interligadas por uma correia, têm raios respectivamente iguais a 10cm e a 20cm, como se representa na figura a seguir. As polias estão em rotação e a correia não desliza sobre elas. A polia X efetua 2,0 voltas por segundo, com rotação uniforme.

Calcule, adotando-se = 3:

a) a velocidade escalar linear de um ponto da correia;

b) o período de rotação da polia Y.

2. (UfSCar-SP-MODELO ENEM) – Para misturar o concreto, um motor de 3,5hp tem solidária ao seu eixo uma engrenagem de 8,0cm de diâmetro, que se acopla a uma grande cremalheira em forma de anel, com 120cm de diâmetro, fixa ao redor do tambor misturador.

Quando o motor é ligado, seu eixo gira com frequência de 3,0Hz. Nestas condições, o casco do misturador dá um giro completo em

a) 3,0s

b) 5,0s

c) 6,0s

d) 8,0s

e) 9,0s

3. (OPF-MODIFICADO-MODELO ENEM) – Considere duas pessoas, A e B, ambas na superfície terrestre, a pessoa A na linha do Equador e a pessoa B numa latitude de 60°.

Considere, ainda, somente o movimento de rotação da Terra em torno de seu eixo.

É correto afirmar que

a) a velocidade angular de A é maior que a de B.

b) o período de A é maior que o de B.

c) a frequência de A é maior que a de B.

d) o módulo da aceleração centrípeta de A é o dobro do módulo da aceleração centrípeta de B.

e) o módulo da velocidade vetorial de A é a metade do módulo da velocidade vetorial de B.

4. (ESCOLA NAVAL-MODELO ENEM) – Observe o gráfico a seguir.

O gráfico da figura acima mostra a variação do raio da Terra (R) com a latitude (). Observe que foram acrescentadas informações para algumas latitudes, sobre a menor distância entre o eixo da Terra e um ponto P na superfície da Terra no nível do mar, ou seja, Rcos Considerando-se que a Terra gira com uma velocidade angular _T = /12(rad/h), qual é, aproximadamente, a latitude de P quando o módulo da velocidade de P em relação ao centro da Terra mais se aproxima do módulo da velocidade do som?