Velocidade escalar instantânea
1. Definição
A velocidade escalar instantânea traduz a rapidez de movimento, isto é, a rapidez com que a posição (espaço) varia no decurso do tempo.
Uma grande velocidade significa movimento rápido; pequena velocidade significa movimento lento e velocidade nula significa que não há movimento.
Admitamos que se pretenda calcular a velocidade escalar de um móvel em um instante t em que ele passa por uma posição P de sua trajetória.
Para tanto, calculamos sua velocidade escalar média entre a posição P (instante t) e a posição P' (instante t + 
t).
Se fizermos o intervalo de tempo t ir diminuindo e tendendo a zero (t 
0), o valor da velocidade escalar média 
vai tender para o valor da velocidade escalar no instante t, isto é:
A velocidade escalar instantânea é o limite para o qual tende a velocidade escalar média, quando o intervalo de tempo considerado tende a zero. |
A velocidade
escalar instantânea corresponde à velocidade escalar média calculada em um
intervalo de tempo extremamente pequeno. Para um automóvel, a velocidade
escalar instantânea é indicada em seu velocímetro. |
 |
O cálculo desse limite é uma operação matemática chamada derivação.
Escreve-se 
e lê-se: a velocidade escalar é a derivada do espaço em relação ao tempo.
Saiba mais
O trem-bala, no Japão, atinge a fantástica velocidade escalar de 500km/h. Apresentamos, a seguir, as velocidades escalares médias do movimento de alguns corpos, bem como do som e da luz, medidas em m/s e km/h: 1) Lesma: 0,0014m/s – 0,0050km/h 2) Tartaruga: 0,02m/s – 0,072km/h 3) Pedestre: 1,4m/s – 5,0km/h 4) Atleta recordista dos 100m: 10m/s – 36km/h 5) Atleta em corrida de 1 500m: 7,0m/s – 25km/h 6) Atleta em corrida de 10 000m: 5,5m/s – 20km/h 7) Galgo: 17m/s – 61km/h 8) Pombo-correio: 18m/s – 65km/h 9) Lebre: 19m/s – 68km/h 10) Avestruz – gazela: 22m/s – 79km/h 11) Chita (o mais rápido dos mamíferos): 28m/s – 101km/h 12) Automóvel de passeio: 30m/s – 108km/h 13) Esquiador em competição: 32m/s – 115km/h 14) Carro de corridas: 100m/s – 360km/h 15) Trem-bala: 140m/s – 504km/h 16) Aviões turboélices: 200m/s – 720km/h 17) Som no ar: 340m/s – 1224km/h 18) Aviões supersônicos: 555m/s – 1998km/h 19) Bala de metralhadora: 715m/s – 2574km/h 20) Lua em torno da Terra: 1,0 . 103m/s – 3,6 . 103km/h 21) Satélite estacionário da Terra: 3,0 . 103m/s – 1,08 . 104km/h 22) Terra em torno do Sol: 3,0 . 104m/s – 1,08 . 105km/h 23) Luz no vácuo: 3,0 . 108m/s – 1,08 . 109km/h |
Em nosso estudo de Cinemática, só nos interessa a derivação da função polinomial:
 |
Nota: a, b, c e n são constantes.
Exemplos:
(I) s = 5,0t3 + 8,0t2 – 9,0t + 10,0 (SI)
= 15,0t2 + 16,0t – 9,0 (SI)
(II) s = – 3,0t2 + 1,0t – 8,0 (SI)
= – 6,0t + 1,0 (SI)
(III) s = – 4,0 + 2,0t (SI)
= 2,0m/s (constante)
Exercícios Propostos
"Nem um avião a sair
de um ovo, nem um truque de fotomontagem. A fotografia é bem real e ilustra um
caça F-18 Hornet a transpor a barreira do som. A imagem foi captada durante
exercícios do Esquadrão de Caças Um-Cinco-Um, da USS Constellation. Para produzir
o fenômeno, o piloto que comandava o F-18 conduziu o avião a baixa altitude
sobre o mar, atingindo a velocidade do som. A pressão criada pelas ondas de som
consequentes conduziu ao efeito de bola de nuvens que se vê na imagem."
| Altitude (metros) | Velocidade do som (m/s) |
|---|---|
| baixa | 343 |
| 1524 | 335 |
| 3048 | 329 |
| 4572 | 323 |
De acordo com a notícia, o módulo da velocidade do F-18 Hornet, quando atingiu a velocidade do som, é um valor mais próximo de:
a) 343km/h
b) 1152km/h
c) 1224km/h
d) 1235km/h
e) 1250km/h
(Dado: 1m/s = 3,6km/h)
2. (OLIMPÍADA PAULISTA DE FÍSICA – MODELO ENEM) – Na prova dos 100m rasos, Samuel estava empolgado para ver o corredor jamaicano Usain Bolt tentar conquistar novamente a medalha de ouro. Pesquisando sobre corredores de 100m rasos na internet, Samuel encontrou o gráfico abaixo, que mostra a velocidade escalar do corredor durante a prova.
(extraído de http://www.athleticdesign.se/filadecathlon/postmortem.htm) |
Conversando com seu pai sobre o gráfico, Samuel concluiu que
a) a velocidade escalar do corredor é sempre crescente durante toda a corrida.
b) a velocidade escalar do corredor é constante durante toda a corrida.
c) o corredor dá a largada com uma velocidade escalar inicial de 6,0m/s.
d) a velocidade escalar máxima do corredor é de 11,0m/s.
e) a velocidade escalar máxima é atingida na posição x = 50m.
3. (INEP – MODELO ENEM) – A figura ilustra o instante em que um carro em alta velocidade é fotografado por uma câmara de um dispositivo controlador de velocidade. Para que isso ocorra, esse dispositivo mede o tempo que o carro leva para atravessar os sensores L1, L2 e L3.
(Disponível em :
http://galileu.globo.com. Acesso em: 12 set. 2014.) |
Para que seja possível calcular a velocidade escalar do veículo, é necessário que se conheça também o(a)
a) comprimento do automóvel.
b) distância entre os sensores.
c) frequência da luz do flash da lâmpada.
d) coeficiente de atrito entre os pneus e o asfalto.
e) massa do automóvel.
4. (FUVEST) – Um corpo se movimenta sobre o eixo x, de acordo com a equação horária: x = 2,0 + 2,0t – 2,0t2, em que t é dado em segundos e x em metros.
a) Qual a velocidade escalar média entre os instantes t1 = 0 e t2 = 2,0s?
b) Qual é a velocidade escalar nos instantes t1 = 0 e t2 = 2,0s?
Exercícios Propostos
1. (MODELO ENEM) – Uma questão de vestibular apresentou para o movimento de um atleta, em uma corrida de 100m rasos, uma função horária dos espaços (posição do atleta em função do tempo) dada por:
| s = 1,0t2 (SI) |
s = posição do atleta
t = tempo de movimento
Sabe-se que a máxima velocidade escalar que um atleta pode atingir é de 16,0m/s.
A equação horária proposta:
a) é condizente com a realidade física, pois o tempo de percurso dos 100m é de 10,0s.
b) é condizente com a realidade física porque a velocidade escalar média no percurso é de 10,0m/s.
c) é incompatível com a realidade física porque o tempo de percurso dos 100m é inferior ao recorde mundial.
d) é incompatível com a realidade física porque o atleta cruzaria a linha de chegada com velocidade escalar de 20,0m/s.
e) é compatível com a realidade física porque o atleta teria velocidade escalar máxima inferior a 16,0m/s.
2. (MODELO ENEM) – Pretende-se estimar a velocidade escalar com que um atleta olímpico cruza a linha de chegada em uma prova de 100 metros rasos.
Considere que essa velocidade seja 50% maior que a velocidade escalar média no referido percurso.
Avaliando o tempo gasto na competição, você pode concluir que a velocidade escalar do atleta, ao cruzar a linha de chegada, na prova de 100m rasos, é um valor mais próximo de:
a) 15km/h
b) 30km/h
c) 40km/h
d) 44km/h
e) 54km/h
3. (FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS) – Uma partícula executa um movimento, em trajetória retilínea, obedecendo à função horária s = 16,0 – 40,0t + 25,0t2, em que s é o espaço medido em metros e t é o tempo medido em segundos.
a) Qual a velocidade escalar média entre os instantes t1 = 2,0s e t2 = 6,0s?
b) A partir de que instante a partícula inverte o sentido de seu movimento?
4. Em uma corrida, em uma pista retilínea, com extensão de 50m, a função horária do espaço que descreve o movimento de um atleta é dada por:
s = 0,5t2 (SI)
Determine
a) o tempo gasto pelo atleta para completar a corrida;
b) a velocidade escalar com que o atleta cruza a linha de chegada, em km/h;
c) a velocidade escalar média nessa corrida.
5. Uma partícula, em trajetória retilínea, tem função horária do espaço dada por:
s = 4,0t2 – 8,0t (unidades do SI)
Determine
a) os instantes em que o móvel passa pela origem dos espaços;
b) o instante e a posição em que o móvel para.
Gabarito
1. RESOLUÇÃO:
Para baixas altitudes, a velocidade do som é da ordem de 343m/s.
Vavião = Vsom = 343 . 3,6km/h
Vavião = 1235km/h
Resposta: D
2. RESOLUÇÃO:
a) Falsa. A velocidade escalar é incialmente crescente, permanece praticamente constante durante parte da corrida e tem redução nos metros finais.
b) Falsa.
c) Falsa. A velocidade escalar inicial é nula.
d) Falsa. A velocidade escalar máxima é superior a 11,0m/s.
e) Verdadeira. Leitura do gráfico.
Resposta: E
3. RESOLUÇÃO:
A velocidade escalar V é dada pela relação entre a distância entre os sensores e o tempo gasto para percorrer essa distância.
Resposta: B
4. RESOLUÇÃO:
a) t1 = 0 
S1 = 2,0m
t2 = 2,0s S2 = –2,0m
Vm = 
Vm = 
(m/s)
Vm = –2,0m/s
b) V = 2,0 – 4,0t (SI)
t1 = 0 V = 2,0m/s
t2 = 2,0s V = –6,0m/s
Gabarito
1. RESOLUÇÃO:
1) Cálculo do tempo de percurso dos 100m:
s = 1,0 t2
100 = 1,0 T2 T = 10,0s (compatível com a realidade)
2) Cálculo da velocidade escalar final com que o atleta cruzaria a linha de chegada:
V = 
= 2,0 t (SI)
Para t1 = T = 10,0s:
V = V1 = 20,0m/s
V1 > 16,0m/s (incompatível com a realidade)
Resposta: D
2. RESOLUÇÃO:
Em uma competição olímpica, os 100m são percorridos em um tempo aproximado de 10s.
Vm = 
= 10m/s
Vmáx = 1,5 Vm (50% maior)
Vmáx = 1,5 . 10m/s = 15m/s = 15 . 3,6 km/h
Vmáx = 54km/h
Resposta: E
3. RESOLUÇÃO:
a) t1 = 2,0s s1 = 36,0m
t2 = 6,0s s2 = 676,0m
Vm = 
Vm = 1,6 . 102m/s
b) V = V = – 40,0 + 50,0t (SI)
V = 0 t = 0,80s
Respostas:
a) Vm = 1,6 . 102m/s
b) t = 0,80s
4. RESOLUÇÃO:
a) t = T 
s = 50m
50 = 0,5T2 T2 = 100 Þ T = 10s
b) V = = 1,0t (SI)
t = 10s V = 10m/s = 36km/h
c) Vm = 
Þ Vm = 5,0m/s
5. RESOLUÇÃO:
a) Na origem dos espaços: s = 0
0 = 4,0t2 – 8,0t t1 = 0 e t2 = 2,0s
b) No instante da inversão do movimento: V = 0
V = V = 8,0t – 8,0 (SI)
Quando V = 0: t = 1,0s e s = –4,0m
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