COMPONENTES DA FORÇA RESULTANTE I

Componentes da força resultante I

Em nossa vida cotidiana são raros os casos em que a velocidade é mantida constante.

Quando você está dirigindo um carro e está acelerando, brecando ou simplesmente fazendo uma curva a velocidade do carro estará variando. Qualquer alteração de velocidade significará que as forças atuantes no carro admitem uma força resultante (soma vetorial das forças atuantes) não nula.

Como a velocidade é estudada como vetor ela poderá variar em módulo (acelerar ou brecar) e/ou em orientação (trajetória curva).

É por isso que o estudo da força resultante fica mais simples se ela for decomposta em duas parcelas: uma tangencial à trajetória que será usada para acelerar e para brecar e outra perpendicular à trajetória que vai curvar a trajetória.

1. Preliminares

Consideremos uma partícula sob a ação simultânea de n forças ₁, ₂,..., _n em relação a um sistema de referência inercial.

Define-se resultante () das n forças como sendo uma força hipotética (imaginária) que, aplicada sozinha à partícula, produz o mesmo efeito que a ação simultânea das n forças. Em outras palavras, o conjunto das n forças e a força resultante proporcionam à partícula a mesma aceleração.

₁ + ₂ + ... + _n = m Û _n = m

= ₁ + ₂ ... + _n

Cada uma das forças ₁, ₂,..., _nadmite uma reação (-₁, -₂,..., -_n), de acordo com a 3ª Lei de Newton, porém, não se pode falar em reação à força resultante (), pois tal força é uma força hipotética que, se existisse, poderia substituir sozinha o conjunto das n forças.

A figura mostra que a velocidade de um móvel em movimento circular e uniforme é variável. Este fato indica que devem atuar uma ou mais forças no móvel e que a força resultante não é nula.

2. Componentes da resultante

Consideremos uma partícula em trajetória curva e movimento não uniforme, em relação a um sistema de referência inercial.

Seja a força resultante na partícula em um ponto A da trajetória.

A força resultante () pode ser decomposta em duas parcelas:

_t: componente tangencial da força resultante; é a componente da força resultante na direção da tangente à trajetória;

_cp: componente normal ou centrípeta da força resultante; é a componente da força resultante na direção da normal à trajetória.

É evidente que:

= _t + _cp

½½² = ½_t½² + ½_cp½²

3. Resultante tangencial

A componente tangencial da força resultante (_t) é responsável pela variação do módulo da velocidade vetorial, isto é, é usada para acelerar (módulo da velocidade aumenta) ou para retardar (módulo da velocidade diminui) o corpo.

Quando o movimento for uniforme, não importando a trajetória descrita, o módulo da velocidade permanece constante e a resultante tangencial é nula.

Características vetoriais

Módulo ou intensidade:

| _t | = m . | g |

em que m é a massa do corpo e g sua aceleração escalar.

Direção: tangente à trajetória.

Sentido:

Quando o movimento é acelerado (módulo da velocidade aumenta), a resultante tangencial tem o mesmo sentido do movimento.
Quando o movimento é retardado (módulo da velocidade diminui), a resultante tangencial tem sentido oposto ao do movimento.

Resultante tangencial constantemente nula

A resultante tangencial será constantemente nula quando g = cte = 0, isto é, quando o corpo estiver em repouso ou em movimento uniforme com qualquer trajetória (reta ou curva).

Resultante tangencial constante não-nula

A resultante tangencial terá módulo (m | g |) constante e não-nulo quando o movimento for uniformemente variado (g = cte ¹ 0).

A resultante tangencial será vetorialmente constante quando o movimento for retilíneo e uniformemente variado (MRUV).

4. Resultante centrípeta

A componente normal (ou centrípeta) da força resultante (_cp) é responsável pela variação da direção da velocidade vetorial, isto é, é usada para curvar a trajetória.

A resultante centrípeta é característica das trajetórias curvas.

Na trajetória retilínea, a resultante centrípeta é constantemente nula.

Características vetoriais

Módulo ou intensidade: , em que m é a massa, V a velocidade escalar e R um elemento geométrico da trajetória denominado raio de curvatura da trajetória.

Nas trajetórias circulares, (R) é o raio da circunferência.

Nas trajetórias retilíneas, (R) tende para o infinito e a resultante centrípeta é nula.

O inverso de (R) é denominado curvatura (C) da trajetória:

Direção: normal à trajetória.

Sentido: dirigido para o centro da curva.

Uma vez que a trajetória do carrinho é curvilínea, a força resultante admite uma componente centrípeta.

Resultante centrípeta constantemente nula

A resultante centrípeta será constantemente nula quando V = cte = 0, isto é, repouso, ou quando R ® ¥, isto é, trajetória reta.

A resultante centrípeta pode ter módulo constante (por exemplo, no movimento circular e uniforme), porém, como é sempre normal à trajetória, nunca terá direção constante.

Assim, a resultante centrípeta só poderá ser vetorialmente constante quando for nula, isto é, quando o móvel estiver em repouso ou em trajetória retilínea.

5. Força resultante constante

= cte =

Se a força resultante for constante e nula, o móvel estará em repouso ou em movimento retilíneo e uniforme, de acordo com a 1ª Lei de Newton.

= cte ¹

Se a força resultante for constante e não-nula, então existem duas possibilidades:

a) Se a velocidade inicial (₀) for nula ou tiver a mesma direção de , o movimento será retilíneo e uniformemente variado (MRUV), na direção de .

b) Se a velocidade inicial (₀) tiver direção distinta da de , a trajetória será parabólica e o movimento não será uniformemente variado. Como exemplo, temos o movimento de um projétil no campo de gravidade da Terra (suposto uniforme), desprezando-se a resistência do ar.

6. Força resultante nos principais movimentos

Movimento retilíneo e uniforme

Sendo o movimento uniforme, temos:

g = 0 e _t =

Sendo a trajetória reta, temos:

R ® µ e _cp =

Portanto:

(resultante constante e nula)

Movimento retilíneo e uniformemente variado

Sendo o movimento variado, temos:

g ¹ 0 e _t ¹

Sendo a trajetória reta, temos:

R ® µ e _cp =

Portanto:

½ = ½

_t½ = m ½g½

(resultante constante e não-nula)

Movimento circular e uniforme

Sendo o movimento uniforme, temos:

g = 0 e _t =

Sendo a trajetória curva, temos: _cp¹

Portanto:

½½ = ½_cp½ =

(resultante com módulo constante e direção variável)

Movimento circular e uniformemente variado

Sendo o movimento variado, temos:

g ¹ 0 e _t ¹

Sendo a trajetória curva, temos: _cp ¹

Portanto:

= _t + _cp

½½² = ½_t½²+ ½_cp½²

Neste caso, a resultante varia em módulo e direção.

Exercícios propostos

1. (GAVE-MODELO ENEM) – Na figura, está representado o perfil de um trecho de uma ponte, que se admite formar um arco de circunferência num plano vertical. As posições P e Q estão situadas num mesmo plano horizontal. Sobre essa ponte, desloca-se um automóvel com velocidade de módulo constante. A figura não está em escala.

Em qual das figuras seguintes se encontra corretamente representada a resultante das forças, _R, que atuam sobre o automóvel?

2. (FGV-SP-MODELO ENEM) – A espiral logarítmica é uma curva plana com a propriedade de que todas as retas pertencentes ao seu plano e que passam por um certo ponto fixo interceptam essa curva fazendo com ela o mesmo ângulo. Ela ocorre com muita frequência na natureza, como por exemplo, nos braços de ciclones tropicais, nos braços de galáxias espirais, como a própria Via Láctea, e em conchas de moluscos. Mas uma de suas ocorrências mais interessantes é na Biologia. Falcões peregrinos, ao se aproximarem de suas presas, não seguem o caminho mais curto, a linha reta, mas sim uma espiral logarítmica que está no plano horizontal. Note que sua velocidade faz sempre o mesmo ângulo com a reta que liga o falcão ao ponto P, posição da presa.

Supondo-se que o módulo da velocidade do falcão (V_F) seja constante no trecho de sua trajetória indicado na figura, assinale a afirmativa correta referente a esse trecho.

a) Como o módulo da velocidade do falcão é constante, também sua aceleração tem módulo constante.

b) O vetor aceleração do falcão aponta para o ponto P.

c) A força resultante sobre o falcão é nula, pois sua velocidade tem módulo constante.

d) A força resultante sobre o falcão é vertical e para cima, anulando o seu peso.

e) O módulo da aceleração do falcão aumenta, pois, embora o módulo de sua velocidade seja constante, o raio de curvatura de sua trajetória diminui.

3. (PASUSP-MODELO ENEM) – Newton unificou as ideias de Galileu e Kepler, ao identificar a órbita da Lua como sendo equivalente ao movimento de um projétil. O raciocínio de Newton foi o seguinte: imagine um canhão no topo de uma montanha muito alta, como mostrado esquematicamente na figura.

A trajetória de um projétil disparado pelo canhão dependerá de sua velocidade inicial. Na ausência de gravidade ou resistência do ar, o movimento do projétil seria uma linha reta com velocidade constante, conforme determinado pelo princípio da inércia; mas a gravidade deflete a trajetória do projétil, fazendo o cair com aceleração vertical. Se a sua velocidade inicial for pequena, o projétil cairá perto da base da montanha (trajetória A). De acordo com essas ideias, poderíamos imaginar que, se aumentássemos a potência do canhão, no final o projétil teria uma velocidade horizontal suficiente para simplesmente “continuar caindo". Embora esteja sendo atraído continuamente para baixo pela força gravitacional, ele nunca vai bater no chão. Ou seja, o projétil entrou em órbita (trajetória C), virando um satélite da Terra!

Marcelo Gleiser, A dança do Universo, 2006. Adaptado.

Com base no texto e em seus conhecimentos, é correto afirmar:

a) A órbita da Lua em torno da Terra é uma parábola.

b) A trajetória do projétil disparado depende da potência do canhão.

c) O projétil, disparado pelo canhão, sempre cairá na superfície da Terra.

d) Se um satélite estiver em órbita circular, será mantido por inércia.

e) A órbita de um satélite artificial da Terra é sempre circular.

4. (UNICAMP-SP) – Algo muito comum nos filmes de ficção científica é o fato de as personagens não flutuarem no interior das naves espaciais. Mesmo estando no espaço sideral, na ausência de campos gravitacionais externos, elas se movem como se existisse uma força que as prendesse ao chão das espaçonaves. Um filme que se preocupa com esta questão é “2001, uma Odisseia no Espaço", de Stanley Kubrick. Nesse filme, a gravidade é simulada pela rotação da estação espacial, que cria um peso efetivo agindo sobre o astronauta. A estação espacial, em forma de cilindro oco, mostrada ao lado, gira com velocidade angular constante de módulo 0,2 rad/s em torno de um eixo horizontal E perpendicular à página. O raio R da espaçonave é 40m.

a) Calcule o módulo da velocidade tangencial do astronauta representado na figura.

b) Determine a intensidade da força de reação que o chão da espaçonave aplica no astronauta que tem massa m = 80kg.

Gabarito

1. RESOLUÇÃO:

Como a velocidade tem módulo constante (MU), a componente tangencial da força resultante é sempre nula.

Como a trajetória é curva, a força resultante terá componente centrípeta, que é sempre perpendicular à trajetória e dirigida para o centro da curva descrita.

Resposta: B

2. RESOLUÇÃO:

a) Falsa. A aceleração do falcão será centrípeta:

Como V é constante e R varia, o módulo da aceleração será variável.

b) Falsa. O vetor aceleração será perpendicular ao vetor velocidade em cada ponto da trajetória.

c) Falsa. A força resultante é centrípeta:

d) Falsa. Como a trajetória está contida em um plano horizontal, a força centrípeta é horizontal.

e) Verdadeira. Sendo V constante e R decrescente, o valor de é crescente.

Resposta: E

3. RESOLUÇÃO:

a) Falsa. A órbita da Lua, em torno da Terra, tem a forma de uma elipse.

b) Verdadeira. Para velocidades menores que 8,0km/s (sem resistência do ar), a trajetória é parabólica. Para a velocidade de 8,0km/s (velocidade cósmica primeira), a órbita é circular. Para velocidades entre 8,0km/s e 11,2km/s (velocidade cósmica segunda), a trajetória é elíptica.

Para velocidades acima de 11,2km/s, a trajetória é hiperbólica.

c) Falsa. Poderá entrar em órbita ou escapar do campo gravitacional da Terra.

d) Falsa. O movimento do satélite é mantido pela força gravitacional aplicada pela Terra.

e) Falsa. A órbita pode ser circular ou elíptica.

4. RESOLUÇÃO:

a) A velocidade tangencial (linear) é dada por:

V = wR

V = 0,2 . 40(m/s) Þ V = 8,0m/s

b) A força da reação aplicada pelo chão, que corresponde ao seu peso aparente, faz o papel de resultante centrípeta:

F = Þ F = (N) Þ F = 128N

Respostas:

a) 8,0m/s

b) 128N