LEIS DE KEPLER E SUAS APLICAÇÕES

 Leis de Kepler e suas aplicações

Desde a mais remota antiguidade os grandes pensadores tentaram explicar como funciona o Sistema Solar.

No Ocidente, as primeiras ideias sofre o assunto foram formuladas por Platão (427aC-347aC) e Aristóteles (384aC-322aC) que admitiam ser a Terra o centro imóvel do Sistema Solar com o Sol e os demais planetas gravitando em órbita circulares em torno da Terra: era o sistema denominado geocêntrico (Terra no centro).

Ilustres astrônomos como Ptolomeu (127-151) e Tycho Brahe (1546-1601) também aceitaram e defenderam o sistema geocêntrico.

Porém Ptolomeu propôs um sistema geocêntrico um pouco mais complicado: a Lua e o Sol descreveriam órbitas circulares em torno da Terra porém cada planeta descreveria órbita circular em torno de um centro C que, por sua vez, descreveria órbita circular em torno da Terra.

Ptolomeu

Muito mais tarde Nicolau Copérnico (1473-1543) propôs o sistema heliocêntrico em que os seis planetas conhecidos na sua época: Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter e Saturno descreveriam órbitas circulares em torno do Sol.

Copérnico

Devido à Santa Inquisição, Copérnico hesitou e demorou alguns anos até divulgar seu sistema, colocando o Sol e não a Terra como o centro das órbitas dos planetas conhecidos até então.

Galileu-Galilei (1564-1642) já usando lunetas para observar o céu foi um ardoroso defensor do sistema heliocêntrico e apresentou como forte evidência desse fato a descoberta de satélites de Júpiter, mostrando que a Terra não poderia ser o centro do Sistema Solar.

Posteriormente Johannes Kepler (1571-1643) confirmou, usando os dados astronômicos de Tycho-Brahe, o sistema heliocêntrico porém com uma correção: as órbitas dos planetas não eram circulares como pensavam Galileu e Copérnico; na realidade as órbitas tinham a forma de elipses.

Kepler formulou três leis sobre os movimentos dos planetas que, posteriormente, foram demonstradas, matematicamente, por Isaac Newton (1642-1727).

Em 24/08/2006 na reunião da IAU (União Astronômica Internacional) os 2500 cientistas e astrônomos presentes decidiram que Plutão não é mais um “planeta do Sistema Solar" sendo rebaixado para uma nova categoria de corpos celestes: os denominados “planetas anões".

Outros corpos celestes que farão companhia a Plutão:

1) CERES que era considerado um asteroide, com órbita elíptica entre Marte e Júpiter, com raio médio de 414 . 106 km (2,8 unidades astronômicas) e período de translação de 1680 dias (4,6 anos) e diâmetro de 930 km.

2) Corpo celeste 2003 UB 313, (nome atual ÉRIS), descoberto em julho de 2005 por uma equipe de pesquisadores americanos, com órbita elíptica, muito além de Plutão, com raio médio da ordem de 102 . 108 km (68 unidades astronômicas) e período de translação de 561 anos e diâmetro de 3000 km.

Nota: 1 ua (unidade astronômica) = 1,5 . 1011 m (distância média da Terra ao Sol)

Os astrônomos postularam que para ser classificado como um planeta do Sistema Solar um corpo celeste deve respeitar três condições:

1) gravitar em torno do Sol

2) Ter massa suficiente para assumir a forma geométrica de uma esfera.

3) Ser o corpo celeste dominante, como fonte de campo gravitacional, em suas vizinhanças, traduzido como: “limpar gravitacionalmente a vizinhança de sua órbita".

Plutão satisfaz as duas primeiras condições porém foi rebaixado a planeta-anão porque não respeitou a terceira condição. De fato: sua órbita se aproxima a de Netuno que é o dominante em suas vizinhanças pois a massa de Netuno é cerca de 8600 vezes maior que a de Plutão.

Saiba mais Sistema Solar: o sobe e desce no cosmo Plutão não é mais planeta O sistema solar tem agora 8 e não mais 9 planetas. Plutão, que nos últimos 76 anos foi considerado um astro da mesma categoria de Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano e Netuno, foi rebaixado. Por decisão da União Astronômica Internacional, ele passa a ser um planeta-anão, como Ceres e Xena – este, apelido de seu vizinho 2003 UB313 (nome atual Éris). (O Estado de S. Paulo, 25/08/2006)

1. Leis de Kepler (1571-1630)

As leis de Kepler descrevem os movimentos dos planetas em torno do Sol.

1ª Lei de Kepler ou lei das órbitas

O que é uma elipse?

A elipse é uma curva que corresponde ao lugar geométrico dos pontos de um plano, cujas distâncias, a dois pontos fixos do plano, têm soma constante.

Os pontos fixos são chamados de focos da elipse.

Para qualquer ponto P da elipse, temos:

d1 + d2 = k (constante)

A foto mostra como se pode desenhar uma elipse. Fixamos um barbante frouxamente em dois pontos numa folha de papel (focos). Em seguida, tensionamos com um lápis o barbante, fazendo o lápis deslizar sobre o papel.

A distância entre os pontos A e A’ (ver figura) é a medida do eixo maior da elipse.

Sendo a a medida do semi-eixo maior e f a medida da semidistância focal, define-se excentricidade da elipse como sendo o número e dado por:

0 < e < 1

Quando e = 0, a elipse "degenera" em uma circunferência (os pontos F1 e F2 coincidem com 0).

Quanto maior o valor de e mais alongada é a elipse.

Quando e = 1, a elipse "degenera" em um segmento de reta.

Enunciado da 1ª lei de Kepler

As órbitas descritas pelos planetas, em torno do Sol, são elipses com o Sol localizado em um dos focos.

A tabela a seguir mostra que apenas Mercúrio e Plutão descrevem elipses alongadas (maior excentricidade); os demais planetas descrevem elipses muito próximas de circunferências (excentricidade muito pequena).

Planeta	Excentricidade
Mercúrio	0,206
Vênus	0,007
Terra	0,017
Marte	0,093
Júpiter	0,048
Saturno	0,056
Urano	0,047
Netuno	0,009
Plutão	0,25

Cumpre ressaltar que, teoricamente, a órbita de um planeta, em torno de uma estrela, pode ser circular, no entanto, a órbita elíptica é muito mais provável.

O movimento de translação somente seria uniforme se a órbita do planeta fosse circular.

Planeta	Raio médio de órbita (ua)	Períodos em anos terrestres
Mercúrio	0,39	0,24
Vênus	0,72	0,61
Terra	1,0	1,0
Marte	1,5	1,9
Júpiter	5,2	12
Saturno	9,5	29
Urano	19	84
Netuno	30	165

ua = unidade astronômica - é a distância média da Terra ao Sol = 1,5.1011 m.

O planeta-anão Plutão tem raio médio de órbita de 39ua e período de translação de 248 anos.

Quanto mais afastado se encontra o planeta do Sol, maior será seu período de translação, ou seja, seu ano solar.

As leis de Kepler não valem apenas para planetas do sistema solar, elas também valem para corpos que gravitam em torno de uma grande massa central.

5. Em se tratando de satélites da Terra, é importante salientar que:

a) a órbita pode ser circular ou elíptica;

b) o ponto mais próximo da Terra, é chamado de perigeu e o mais afastado é chamado de apogeu;

c) a velocidade areolar, a velocidade escalar média de translação e o período de translação só dependem da massa da Terra e do raio médio da órbita; não dependem da massa ou de outras características do satélite;

d) a velocidade escalar média de translação da Lua é da ordem de 1,0km/s e de um satélite estacionário é da ordem de 3,0km/s.

Os Destaques Nicholas Koppernigk Entre os ilustres filhos da Polônia, figura o astrônomo, jurista, estadista e clérigo Nicolaus Copernicus, ou simplesmente Copérnico. Nascido em janeiro de 1473, de família abastada e influente, Copérnico pôde estudar nas melhores Universidades da Europa até os 33 anos. Versado em várias disciplinas, entre as quais Astronomia, Copérnico resolveu dois problemas muito importantes de sua época. No século XVI as Grandes Navegações estavam em pleno desenvolvimento, e a orientação pelas estrelas era vital para frotas comerciais. Copérnico foi importante no aperfeiçoamento desta técnica. A Igreja também precisava de um calendário mais exato para suas comemorações e foi graças a Copérnico que se criou o Calendário Gregoriano. Mas foi na sua obra De Revolutionibus Orbium Coelestium que Copérnico atingiu seu maior feito. Neste tratado de Astronomia, ele demonstrou, contra os dogmas acadêmicos de sua época, que era o Sol, e não a Terra, o centro das órbitas dos planetas conhecidos em seu tempo. Tal postura era temerária até então. Diante da Santa Inquisição, qualquer ideia que contestasse a "ciência católica" poderia ser taxada de heresia, e as consequências de tal acusação poderiam ser prejudiciais à integridade física do acusado. Sob este temor, Copérnico demorou muitos anos para tornar públicas suas ideias. Na verdade Copérnico nunca chegou a ver seu grande livro. Quando a obra foi editada, Copérnico já estava com idade bem avançada e já sem lucidez, devido a uma hemorragia cerebral. Copérnico veio a morrer como cônego na Catedral de Frauenburg, na Prússia, em 1543. Johannes Kepler Em 1571, na cidade alemã de Weil, nasceu Johannes Kepler, filho de um mercenário, famoso em sua cidade por suas bebedeiras, e de uma senhora emocionalmente abalada que, mais tarde, seria acusada e perseguida como bruxa. O pequeno Kepler sofreu um ataque de varíola aos quatro anos que prejudicou muito a sua visão e o movimento de suas mãos. Como se vê, Kepler desde cedo teve uma vida difícil. Mesmo assim, mostrou-se logo um estudante de brilho, sendo levado por um tio para um seminário, onde tomou o primeiro contato com as ciências. Porém, Kepler sentiu que sua verdadeira vocação era para a Astronomia e a Matemática. Mesmo com problemas financeiros e perseguido como protestante, revolucionou a concepção de Universo do seu tempo. Embora Copérnico já houvesse mostrado que o Sol era o centro do nosso Sistema Planetário, estas ideias eram consideradas mais como conjecturas teóricas do que uma verdade científica, devido certamente ao fato de que a Igreja Católica pregava o modelo geocêntrico para a Criação. Munido das observações do astrônomo, seu contemporâneo, Tycho Brahe, Kepler provou inapelavelmente o modelo heliocêntrico. Brahe fez as melhores e mais numerosas observações astronômicas de seu tempo. O desenho representa o astrônomo Tycho Brahe em seu observatório, o melhor do mundo, na sua época. Kepler foi realmente um personagem histórico fascinante.  Ao mesmo tempo que demoliu as ideias preconcebidas de sua época, procurou obsessivamente relações geométricas clássicas entre os movimentos dos planetas, num retorno aos conceitos dos antigos filósofos gregos, e foi   também mais famoso durante sua vida como astrólogo que como  astrônomo. Mas os fatos falaram mais alto e Kepler se rendeu aos argumentos científicos de suas próprias descobertas. Morreu na cidade de Ratisbona, em 1630, de uma forte febre, durante uma longa e penosa viagem que fazia para tentar publicar um de seus livros.

Exercícios propostos

1. (ENEM) Na linha de uma tradição antiga, o astrônomo grego Ptolomeu (100-170 d.C.) afirmou a tese do geocentrismo, segundo a qual a Terra seria o centro do universo, sendo que o Sol, a Lua e os planetas girariam em seu redor em órbitas circulares. A teoria de Ptolomeu resolvia de modo razoável os problemas astronômicos da sua época. Vários séculos mais tarde, o clérigo e astrônomo polonês Nicolau Copérnico (1473-1543), ao encontrar inexatidões na teoria de Ptolomeu, formulou a teoria do heliocentrismo, segundo a qual o Sol deveria ser considerado o centro do universo, com a Terra, a Lua e os planetas girando circularmente em torno dele. Por fim, o astrônomo e matemático alemão Johannes Kepler (1571- 1630), depois de estudar o planeta Marte por cerca de trinta anos, verificou que a sua órbita é elíptica. Esse resultado se generalizou para os demais planetas.

A respeito dos estudiosos citados no texto, é correto afirmar que

a) Ptolomeu apresentou as ideias mais valiosas, por serem mais antigas e tradicionais.

b) Copérnico desenvolveu a teoria do heliocentrismo inspirado no contexto político do Rei Sol.

c) Copérnico viveu em uma época em que a pesquisa científica era livre e amplamente incentivada pelas autoridades.

d) Kepler estudou o planeta Marte para atender às necessidades de expansão econômica e científica da Alemanha.

e) Kepler apresentou uma teoria científica que, graças aos métodos aplicados, pôde ser testada e generalizada.

2. (VUNESP-UNIFAE-MODELO ENEM) – O periélio da órbita de um planeta ao redor do Sol é o ponto dessa órbita em que o planeta está o mais próximo possível do Sol. O afélio é o ponto da órbita de maior afastamento do planeta em relação ao sol.

fora de escala

 

Em 2014, a Terra passou pelo periélio, ponto P na figura, no início de janeiro, e pelo afélio, ponto A, seis meses depois. Considerando-se que a Terra se move no sentido indicado pelas setas na figura, que as áreas A1 e A2 são iguais e que, em 2014, a Terra passou pelo ponto M no início do mês de maio, é correto afirmar que, no mesmo ano, ela passou pelo ponto N no início do mês de

a) setembro.

b) dezembro.

c) novembro.

d) agosto.

e) outubro.