Operações com vetores


1. Produto de um escalar por um vetor

Consideremos uma grandeza escalar e e uma grandeza vetorial .

O produto e  tem como resultado uma grandeza vetorial  com as seguintes características:

a) |  |    =  | e |  .  |  |

b) direção:  a mesma de  

c) sentido:  depende do sinal de e
e  >  0 :  mesmo sentido de 
e  <  0 :  sentido oposto ao de 

Exemplificando: consideremos um número real n = 2 e um vetor  com módulo igual a 3, direção da reta (r) e sentido de A para B.

O vetor 2 é um vetor de módulo 6, direção da reta (r) e sentido de A para B.

2. Vetor oposto

Dado um vetor , define-se vetor oposto a  como sendo um vetor  que resulta do produto do número –1 pelo vetor :

                       

Dois vetores opostos,  e , têm módulos iguais, mesma direção e sentidos opostos.

A soma de vetores opostos é o vetor nulo:

3. Diferença de vetores

A subtração entre dois vetores,  e , pode ser transformada em uma adição:

Para subtrairmos um vetor  de um vetor  basta somarmos  com o oposto de .


Um modo prático de se obter o vetor  –  é representá-los com a mesma origem O e unir a extremidade de  com a extremidade de  (Fig. 2).

4. Decomposição de um vetor em duas direções perpendiculares

Seja o vetor  inclinado de a  em relação ao eixo Ox e inclinado de b em relação ao eixo Oy.


 = componente de  segundo Ox.

 = componente de  segundo Oy.

Da figura, temos:

Portanto:

Exemplificando: F  =  10N; a  =  37°; b  =  53°

Dados: sen a  =  cos b = 0,60

cos a  =  sen b  = 0,80

As componentes de F serão:

Fx = ½  ½ cos a = 10N . 0,80 Þ
Fx = 8,0N
Fy = ½  ½ sen a = 10N . 0,60 Þ
Fy = 6,0N

Durante o lançamento, a velocidade do míssil pode ser decomposta em duas componentes, uma horizontal ( ) e outra vertical e outra vertical ()

 

Exercícios propostos

 

 

 

1. (EXAME NACIONAL DE PORTUGAL-MODELO ENEM) – A figura apresenta o perfil vertical de 

duas escadas rolantes que deslizam com velocidades constantes e com módulos iguais em relação ao solo terrestre.

Uma pessoa A utiliza a escada que sobe e simultaneamente uma pessoa B utiliza a escada que desce. Ambas as pessoas permanecem imóveis em relação aos degraus.




Dados: 

OP paralelo a MN

OM paralelo a PN

 

A velocidade AB da pessoa A da pessoa A em relação à pessoa B é

a) horizontal, com sentido para a direita.

b) horizontal, com sentido para a esquerda.

c) vertical, com sentido para baixo.

d) vertical, com sentido para cima.

e) nula.

Dado: AB – 

2. Um avião decola de um aeroporto, descrevendo nos primeiros 50s uma trajetória retilínea, inclinada, até atingir a altura de 3,0km, com velocidade escalar constante de 360km/h.

Durante esse tempo, os raios solares são perpendiculares ao solo do aeroporto, que é plano e horizontal. Calcule, durante esses 50s,

a) o módulo da velocidade da sombra do avião;

b) o módulo da velocidade de ascensão do avião (componente vertical de sua velocidade).


3. (EFOMM-MODELO ENEM)
 

Dados: 

cos 30° = 0,87

sen 30° = 0,50

Duas pessoas tentam desempacar uma mula, usando uma corda longa amarrada no animal. Uma delas puxa com força A, cuja intensidade é de 200N, e a outra com força B. Ambas desejam mover a mula apenas na direção perpendicular à linha horizontal x representada na figura. Considere que os ângulos são os dados na figura, que a mula está no ponto P.

A intensidade da força B é mais próxima de

a) 200N

b) 220N

c) 230N

d) 248N

e) 400N

Gabarito

1. RESOLUÇÃO:

O quadrilátero OPNM é um quadrado e, portanto, as diagonais são perpendiculares entre si:

A velocidade relativa AB é dada por:

AB – B = A + (–B)


Resposta: D 

2. RESOLUÇÃO:

a) 1) AB = V Dt =  . 50(m) = 5,0 . 103m

AB = 5,0km

2) (AB)2 = (AC)2 + (BC)2

(5,0)2 = (AC)2 + (3,0)2

AC = 4,0km

3) cos  =  = 0,80

4) VS V cos 100 . 0,80(m/s)

VV cos 100 . 0,80(m/s)

V80m/s = 288km/h

b) 1) sen   0,60

2)

 

sen 

Vy sen q

V100 . 0,60(m/s)

 

VV sen q

V100 . 0,60(m/s)

 

V60m/s = 216km/h

Respostas: a) 80m/s ou 288km/h

b) 60m/s ou 216km/h

3. RESOLUÇÕES:

Na direção x, a força resultante é nula:

FA cos 30° = FB cos 60°

200 . 0,87 = FB . 0,50

FB 348N

Resposta: D
 


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