VETORES

Vetores

Conceitos novos são criados na Física quando as ferramentas utilizadas para traduzir os fenômenos se tornam inadequadas ou ineficientes.

Isaac Newton, ao desenvolver seus estudos de Mecânica, chegou a um ponto que a Matemática disponível não era suficiente para traduzir as leis físicas que ele estava descobrindo e ele teve que “inventar" uma Matemática nova que foi o Cálculo Diferencial e Integral que é estudado nas universidades.

Isso também ocorreu na Cinemática, na descrição de um movimento não retilíneo.

Quando um carro descreve uma curva em movimento uniforme ele deve estar sujeito à ação de uma força e, portanto, ele deve ter uma aceleração e sua velocidade deve estar variando de alguma maneira.

Houve então a necessidade de associar à velocidade do carro uma orientação, isto é, uma direção e um sentido e surgiu um novo ente matemático, isto é, uma nova personagem nos estudos da Física: o vetor.

1. Introdução

Para estudar as grandezas escalares, usamos o conjunto dos números reais.

Para estudar as grandezas vetoriais, necessitamos de um outro conjunto cujos elementos admitam os conceitos de módulo (ou valor numérico), direção e sentido. Tais elementos são chamados de vetores.

Assim, os vetores vão representar as grandezas vetoriais.

Não confunda a grandeza vetorial com o elemento matemático que a representa e que é o vetor.

O vetor é simbolizado geometricamente por um segmento de reta orientado; a direção e sentido do segmento orientado são os mesmos da grandeza vetorial e a medida do segmento orientado é proporcional à intensidade da grandeza vetorial.

Na figura, o vetor representa uma força horizontal e dirigida para a direita; o vetor representa uma força vertical e dirigida para cima.

Como o segmento orientado OA tem medida duas vezes maior do que o segmento orientado OB, então a intensidade da força é duas vezes maior do que a intensidade da força .

A intensidade da grandeza vetorial pode ser simbolizada por F ou ||.

No caso, temos: F₁= 2F₂ ou | | = 2 ||.

O vetor que representa a grandeza vetorial pode ser simbolizado pela notação de segmento orientado ou por uma “diferença" entre o seu ponto extremidade e o seu ponto origem:

Se uma força de 10N for representada por uma flecha de 1,5cm, uma outra que tenha intensidade 20N será representada por uma flecha de 3,0cm de comprimento (em escala).

2. Operações com vetores

Adição de dois vetores

Consideremos duas grandezas vetoriais, e , representadas pelos vetores e .

Para somarmos as grandezas vetoriais, e , devemos somar os vetores e e obtermos o vetor soma ou resultante que vai representar a grandeza vetorial resultante.

A soma de vetores é feita pela regra do paralelogramo ou pela regra do polígono.

Regra do paralelogramo

Representam-se os dois vetores a partir de uma mesma origem arbitrária O;
Da extremidade de , traça-se uma reta paralela a ;

Da extremidade de , traça-se uma reta paralela a ;

Na intersecção das retas paralelas traçadas, temos o ponto C;

O vetor resultante é o vetor (vetor soma)

Regra do polígono

Escolhemos um ponto O qualquer para começarmos o polígono;
A partir de O, colocamos o vetor que representa ;
A partir da extremidade A desse vetor, colocamos o vetor que representa ;
O vetor resultante (vetor soma) é o vetor que fecha o polígono, isto é, sua origem é o ponto O e sua extremidade é a extremidade do último vetor representado (C).

3. Determinação do módulo do vetor resultante

Sendo a adição de vetores feita pela regra do paralelogramo, o módulo do vetor resultante pode ser calculado pela aplicação da lei dos cossenos no triângulo OAC.

Note que o módulo do vetor resultante depende do ângulo a entre os vetores que foram adicionados.

Em particular:

(1) Quando a = 0, temos:

e o vetor resultante tem módulo máximo;

(2) Quando a = 180°, temos:

(supondo-se | | > | |) e o vetor resultante tem módulo mínimo;

Nota: a unidade de força no S.I. é chamada newton e simbolizada por N.

Exemplificando, com | | = 4,0N e | | = 3,0N:

4,0N – 3,0N £ | | £ 4,0N + 3,0N

Para a = 90°, temos:

Para a = 60°, temos:

4. Adição de N vetores

Para somarmos vários vetores, é mais simples usarmos a regra do polígono.

Escolhemos um ponto qualquer (0) para começarmos o polígono. A partir de 0 colocamos o vetor que representa ; a partir da extremidade A desse vetor, colocamos o vetor que representa a partir da extremidade B desse vetor, colocamos o vetor que representa e assim sucessivamente. O vetor soma é o vetor que fecha o polígono, isto é, sua origem é o ponto 0 e sua extremidade é a extremidade do último vetor representado.

Exercícios propostos

1. (MODELO ENEM) – A Física está presente em quase todos os momentos de nossa vida. Como exemplo, temos os movimentos, as forças, a energia, a matéria, o calor, o som, a luz, a eletricidade, os átomos etc. No estudo de tais fenômenos, falamos das grandezas escalares e das grandezas vetoriais. São exemplos de grandezas escalares:

a) comprimento, velocidade e peso.

b) quantidade de movimento, tempo e distância.

c) aceleração, campo elétrico e deslocamento.

d) tempo, temperatura e campo magnético.

e) energia, corrente elétrica e massa.

2. (MODELO ENEM) – Um avião tem velocidade com módulo 500km/h, direção horizontal e sentido para a direita.

Um corpo tem peso com módulo 100 N, direção vertical e sentido para baixo. A massa de uma pessoa vale 80 kg. Assinale a opção que classifica corretamente as grandezas citadas como escalares ou vetoriais.

a) velocidade: vetorial; peso: vetorial; massa: vetorial.

b) velocidade: escalar; peso: vetorial; massa: escalar.

c) velocidade: escalar; peso: escalar; massa: escalar.

d) velocidade: vetorial; peso: escalar; massa: vetorial.

e) velocidade: vetorial; peso: vetorial; massa: escalar.

3. (OLIMPÍADA COLOMBIANA DE FÍSICA) – A figura mostra um sistema de seis forças aplicadas em uma partícula. O lado de cada quadrado na figura representa uma força de intensidade 1,0N.

Determine o módulo da força resultante do sistema.

4. (ACAFE-SC-MODELO ENEM) – Em um desafio de conhecimento científico, é apresentado um hexágono regular de lado 2cm e sobre dois de seus lados se encontram dois vetores deslocamentos de igual intensidade, como indica a figura.

A alternativa correta que indica a intensidade da soma, em cm, desses dois vetores é:

a) 1

b) 2

c) 4

d) 5

e) 8

5. Duas forças constantes, e , têm direções perpendiculares e módulos F₁= 5,0N e F₂ = 12,0N.

a) Desenhe, na folha de respostas, a força resultante entre

pela regra do paralelogramo e calcule o seu módulo.

b) Descreva e represente na figura como deverá ser uma terceira força para que a resultante entre , e seja nula. Use na resposta a regra do polígono para somar vetores.