Operações com vetores
1. Produto de um escalar por um vetor
Consideremos uma grandeza escalar e e uma grandeza vetorial 
.
O produto e 
tem como resultado uma grandeza vetorial 
com as seguintes características:
a) | 
| = | e | . | |
b) direção: a mesma de
c) sentido: depende do sinal de e
e > 0 : mesmo sentido de
e < 0 : sentido oposto ao de
Exemplificando: consideremos um número real n = 2 e um vetor com módulo igual a 3, direção da reta (r) e sentido de A para B.
O vetor 2 é um vetor de módulo 6, direção da reta (r) e sentido de A para B.
2. Vetor oposto
Dado um vetor 
, define-se vetor oposto a como sendo um vetor 
que resulta do produto do número –1 pelo vetor :
 |
 |
Dois vetores opostos, e , têm módulos iguais, mesma direção e sentidos opostos.
A soma de vetores opostos é o vetor nulo:
 |
3. Diferença de vetores
A subtração entre dois vetores, e , pode ser transformada em uma adição:
 |
Para subtrairmos um vetor 
de um vetor 
basta somarmos com o oposto de .
Um modo prático de se obter o vetor – é representá-los com a mesma origem O e unir a extremidade de com a extremidade de (Fig. 2).
4. Decomposição de um vetor em duas direções perpendiculares
Seja o vetor 
inclinado de a em relação ao eixo Ox e inclinado de b em relação ao eixo Oy.
= componente de segundo Ox.
= componente de segundo Oy.
Da figura, temos:
Portanto:
 |
Exemplificando: F = 10N; a = 37°; b = 53°
Dados: sen a = cos b = 0,60
cos a = sen b = 0,80
As componentes de F serão:
| Fx = ½ ½ cos a = 10N . 0,80 Þ |
|
| Fy = ½ ½ sen a = 10N . 0,60 Þ |
|
|
Durante o lançamento, a velocidade do míssil
Exercícios propostos
1. (EXAME NACIONAL DE PORTUGAL-MODELO ENEM) – A figura apresenta o perfil vertical de duas escadas rolantes que deslizam com velocidades constantes e com módulos iguais em relação ao solo terrestre. Uma pessoa A utiliza a escada que sobe e simultaneamente uma pessoa B utiliza a escada que desce. Ambas as pessoas permanecem imóveis em relação aos degraus. |
Dados:
OP paralelo a MN OM paralelo a PN
|
A velocidade 
AB da pessoa A da pessoa A em relação à pessoa B é
a) horizontal, com sentido para a direita.
b) horizontal, com sentido para a esquerda.
c) vertical, com sentido para baixo.
d) vertical, com sentido para cima.
e) nula.
Dado: AB = A – B
2. Um avião decola de um aeroporto, descrevendo nos primeiros 50s uma trajetória retilínea, inclinada, até atingir a altura de 3,0km, com velocidade escalar constante de 360km/h.
Durante esse tempo, os raios solares são perpendiculares ao solo do aeroporto, que é plano e horizontal. Calcule, durante esses 50s,
a) o módulo da velocidade da sombra do avião;
b) o módulo da velocidade de ascensão do avião (componente vertical de sua velocidade).
3. (EFOMM-MODELO ENEM)
cos 30° = 0,87
sen 30° = 0,50
Duas pessoas tentam desempacar uma mula, usando uma corda longa amarrada no animal. Uma delas puxa com força 
A, cuja intensidade é de 200N, e a outra com força B. Ambas desejam mover a mula apenas na direção perpendicular à linha horizontal x representada na figura. Considere que os ângulos são os dados na figura, que a mula está no ponto P.
A intensidade da força B é mais próxima de
a) 200N
b) 220N
c) 230N
d) 248N
e) 400N
Gabarito
1. RESOLUÇÃO:
O quadrilátero OPNM é um quadrado e, portanto, as diagonais são perpendiculares entre si:
AB é dada por:AB = A – B = A + (–B)
Resposta: D
2. RESOLUÇÃO:
a) 1) AB = V Dt = 
. 50(m) = 5,0 . 103m
AB = 5,0km
2) (AB)2 = (AC)2 + (BC)2
(5,0)2 = (AC)2 + (3,0)2
AC = 4,0km
3) cos q = 
= 
= 0,80
4) VS = V cos q = 100 . 0,80(m/s)
VS = V cos q = 100 . 0,80(m/s)
VS = 80m/s = 288km/h
b) 1) sen q = 
= 
= 0,60
| 2) |  |
sen q = 
Vy = sen q
Vy = 100 . 0,60(m/s)
Vy = V sen q
Vy = 100 . 0,60(m/s)
Vy = 60m/s = 216km/h
Respostas: a) 80m/s ou 288km/h
b) 60m/s ou 216km/h
3. RESOLUÇÕES:
Na direção x, a força resultante é nula:
FA cos 30° = FB cos 60°
200 . 0,87 = FB . 0,50
FB = 348N
Resposta: D
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