VELOCIDADE ESCALAR

 Velocidade Escalar

 

1. Velocidade Escalar Média

A palavra escalar significa apenas que não há envolvimento de direção; escalar é o oposto da expressão vetorial.

Sejam:

P₁ = posição no instante t₁, definida pelo espaço s₁.

P₂ = posição no instante t₂, definida pelo espaço s₂.

s = s₂ – s₁ = variação de espaço.

t = t₂ – t₁ = intervalo de tempo.

Define-se velocidade escalar média (V_m), entre os instantes t₁ e t₂ (ou entre as posições P₁ e P₂), pela relação:

Vm =  =

Notas

(1) O valor absoluto de s só representa a distância que o móvel percorreu, se o móvel não inverter o sentido de seu movimento.

(2) Se o móvel avançar e, em seguida, recuar, voltando ao ponto de partida, seguindo a mesma trajetória, então s = 0 e V_m = 0.

(3) Se o móvel voltar ao ponto departida, através de uma trajetória fechada, sem inverter o sentido de seu movimento, então Ds não será nulo, e sim igual à distância percorrida. Se, por exemplo, a trajetória fechada for uma circunferência, percorrida sempre no mesmo sentido, ao completar uma volta teremos s = 2πR em que R é o raio da circunferência descrita.

(4) A velocidade escalar média traduz a velocidade escalar constante que o móvel deveria ter para partir da mesma posição inicial e chegar à mesma posição final, no mesmo intervalo de tempo Dt, com o mesmo deslocamento escalar.

2. Unidades de Velocidade

• No Sistema Internacional, temos:

u_(L) = metro (m)

u_(T) = segundo (s)

u(V) =  = m . s-1

 

• No Sistema CGS (centímetro-grama-segundo), temos:

u_(L) = centímetro (cm)

u_(T) = segundo (s)

u(V) =  = cm . s-1

 

• Unidade prática:

u_(L) = quilômetro (km)

u_(T) = hora (h)

u(V) =  = km . h-1

• Relações:

1  =  =

 

1  = 102 =

3. Equação Dimensional da Velocidade

Na Cinemática, adotamos como grandezas fundamentais o comprimento (L) e o tempo (T).

Qualquer grandeza da Cinemática pode ser escrita em função de L e T.

Denomina-se equação dimensional de uma grandeza cinemática G a sua expressão em função das grandezas fundamentais L e T.

A equação dimensional é simbolizada por um colchete.

[G] lê-se: equação dimensional de G.

Sendo [ G ] = L^x T^y, os expoentes x e y são chamados de dimensões de G em relação a L e a T, respectivamente.

A velocidade tem equação dimensional dada por:

[V] =   [V] =

 

[V] = LT–1

 

As dimensões da velocidade são: 1 em relação ao comprimento e –1 em relação ao tempo.

4. Velocidade Escalar Instantânea

A velocidade escalar instantânea traduz a rapidez de movimento, isto é, a rapidez com que a posição (espaço) varia no decurso do tempo.

Uma grande velocidade escalar significa movimento rápido, pequena velocidade escalar significa movimento lento e velocidade escalar nula significa que não há movimento.

Admitamos que se pretenda calcular a velocidade escalar de um móvel, em um instante t, em que ele passa por uma posição P de sua trajetória.

Para tanto, calculamos sua velocidade escalar média entre a posição P (instante t) e a posição P’ (instantet + Dt).

Se fizermos o intervalo de tempo Dt ir diminuindo e tendendo a zero (t ® 0), o valor da velocidade escalar média  vai tender para o valor da velocidade escalar no instante t, isto é:

A velocidade escalar instantânea é o limite para onde tende a velocidade escalar média, quando o intervalo de tempo considerado tende a zero.

V = lim Vm = lim                              t  0            t  0

 

O cálculo desse limite é uma função matemática chamada derivação.

Escreve-se V =  e lê-se:

A velocidade escalar é a derivada do espaço em relação ao tempo.

5. Derivada de uma Função Polinomial

Calculemos, em um caso particular, a derivada de uma função polinomial para, por meio de uma indução vulgar, apresentarmos a regra geral para a derivação de uma função polinomial de grau n.

Consideremos a função horária dos espaços:

s = 2,0 t² + 8,0t + 2,0 (SI)

Em um instante t, o espaço vale s.

Em um instante t’ = t + Dt, o espaço vale s’.

Calculemos a velocidade escalar média entre os instantes t e t’:

s’ = 2,0 (t + t)² + 8,0(t + t) + 2,0

s’ = 2,0t² + 4,0t t + 2,0 (t)² + 8,0t + 8,0 t + 2,0

s’ = 2,0t² + (4,0t + 8,0) t + 2,0 (t)² + 8,0t + 2,0

s = s’ – s = (4,0t + 8,0) t + 2,0 (t)²

V_m =  = 4,0t + 8,0 + 2,0 t

Quando t tende a zero, o resultado é:

V = 4,0t + 8,0           (SI)

Portanto:

1) a derivada de 2,0t² é 4,0t;

2) a derivada de 8,0t é 8,0;

3) a derivada de uma constante (2,0) é zero.

Por meio de uma indução vulgar, concluímos:

1) a derivada de atⁿ é nat^{n – 1} (com a e n constantes);

2) a derivada de bt é b (com b constante);

3) a derivada de qualquer constante é nula.

Assim, para s = atⁿ + bt + c com a, b, c e n constantes, temos:

V =  = n a tn-1 + b

6. Exemplos

(I) s = 5,0t³ + 8,0t² – 9,0t + 10,0 (SI)

      V =  = 15,0t² + 16,0t – 9,0 (SI)

(II) s = – 3,0t² + 1,0t – 8,0 (SI)

      V =  = – 6,0t + 1,0 (SI)

(III) s = – 4,0 + 2,0t (SI)

      V =  = 2,0m/s (constante)

Exercícios Propostos 

1. (UNICAMP-2019-MODELO ENEM) – Aviões de grande porte que executam voos comerciais costumam dispor de uma série de monitores nos quais são projetados programas para o entretenimento dos passageiros. Em certa fase do percurso é comum aparecerem no monitor informações como tempo de voo até o destino, velocidade do avião em relação ao solo, distância até o destino, etc.

O quadro abaixo apresenta algumas dessas informações em certo instante do voo de uma aeronave.

Tempo de voo até o destino: 2h45minDistância até o destino: 2200km

Analisando-se o monitor e conside rando-se que o avião irá se deslocar em linha reta até o destino, determine qual é o módulo da velocidade escalar média da aeronave.

a) 538km/h

b) 800km/h

c) 898km/h

d) 900km/h

e) 1100km/h

2. (VUNESP-UNICASTELO-2018-MODELO ENEM) – Um carro de competição percorre metade de um circuito com velocidade escalar média de 200km/h. Na segunda metade do circuito, o desempenho do carro melhora e sua velocidade escalar média passa a ser 300km/h. A velocidade escalar média desse carro quando ele completa todo o circuito é de

a) 220km/h

b) 225km/h

c) 230km/h

d) 240km/h

e) 275km/h

3. Os congestionamentos de trânsito constituem um problema que aflige, todos os dias, milhares de motoristas brasileiros. O gráfico ilustra a situação, representando, ao longo de um intervalo definido de tempo, a variação da velocidade escalar de um veículo durante um congestionamento.

Quantos minutos o veículo permaneceu imóvel ao longo do intervalo de tempo total analisado?

a) 4,0

b) 3,0

c) 2,0

d) 1,0

e) 0

 

 

4. Um projétil é lançado verticalmente para cima, a partir do solo terrestre, e sua altura h, relativa do solo, varia com o tempo t conforme a relação:

h = 20,0t – 5,0t2 (SI)

Determine:

a) o instante T em que o projétil atinge o ponto mais alto de sua trajetória.

b) a altura máxima H atingida pelo projétil.

c) os instantes t₁ e t₂ em que o projétil passa pela altura h = 15,0m.

Gabarito – Velocidade Escalar Média

1. RESOLUÇÃO:

2. RESOLUÇÃO:

Resposta: D

3. RESOLUÇÃO:

O veículo permaneceu imóvel (velocidade escalar = 0) no intervalo de tempo, em minutos, [de 6,0 a 8,0]. Assim, o tempo em que ele permaneceu imóvel é 2,0 minutos.

Resposta: C

 

 

4. RESOLUÇÃO:

a) No ponto mais alto a velocidade é nula.

V =  = 20,0 – 10,0t (SI)

0 = 20,0 – 10,0T  T = 2,0s

b) t = T = 2,0s  h = H

H = 20,0 . 2,0 – 5,0 (2,0)² (m)  H = 20,0m

c) 15,0 = 20,0t – 5,0t²

5,0t² – 20,0 t + 15,0 = 0

1,0t² – 4,0t + 3,0 = 0

Respostas: a) T = 2,0s
                   b) H = 20,0m
                   c) t₁ = 1,0s e t₂ = 3,0s