VETORES

Vetores

1. Grandezas Escalares e Vetoriais

As grandezas físicas podem ser classificadas em dois grupos: as grandezas escalares e as grandezas vetoriais.

Uma grandeza é escalar quando tem apenas intensidade, isto é, fica perfeitamente definida e caracterizada pelo seu valor numérico, definido por um número real e uma unidade.

Ex.: comprimento, área, volume, densidade, massa, tempo, energia, pressão, potência etc.

Assim, quando dizemos que amassa de uma pessoa vale 50kg, esgotamos o assunto, não cabendo mais nenhuma indagação sobre amassa.

Uma grandeza é vetorial quando exige, para sua completa caracterização, além de sua intensidade, a sua orientação, isto é, a sua direção e sentido.

Ex.: velocidade , aceleração , força , impulso , quantidade de movimento , vetor campo elétrico , vetor indução magnética .

Para caracterizar o efeito da aceleração da gravidade, por exemplo, devemos informar que sua intensidade vale 9,8 m/s², sua direção é vertical e seu sentido é dirigido para baixo.

Nota: É fundamental a distinção entre direção e sentido.

Direção é a propriedade comum a retas paralelas, isto é, retas paralelas têm a mesma direção.

O sentido é a orientação sobre uma direção.

Assim, falamos em: direção vertical, sentido para baixo ou para cima; direção horizontal, sentido para direita ou para esquerda.

Dois carros em uma mesma rua reta, vindo um de encontro ao outro, caminham na mesma direção e com sentidos opostos.

2. Aspecto Escalar e Vetorial

Existem grandezas físicas, como a velocidade e a aceleração, que, conforme o estudo que se faça, interessa serem observadas em seu aspecto escalar ou em seu aspecto vetorial.

Quando o movimento é estudado independentemente da trajetória, não há envolvimento do conceito de direção e, então, é relevante apenas o aspecto escalar e falamos em velocidade escalar (V) e aceleração escalar (g).

Quando a trajetória é relevante em nosso estudo, o conceito de direção torna-se fundamental e, então, destacamos o aspecto vetorial e falamos em velocidade vetorial e aceleração vetorial .

Já adiantamos que a velocidade vetorial e a velocidade escalar (V) têm valores instantâneos com intensidades iguais , porém a aceleração vetorial e a aceleração escalar (g) somente terão valores instantâneos com intensidades iguais quando a trajetória for retilínea ou quando a velocidade for nula ou ainda no ponto de inflexão de uma trajetória curva.

3. Vetores

Para estudar as grandezas escalares, usamos o conjunto dos números.

Para estudar as grandezas vetoriais, necessitamos de outro conjunto cujos elementos envolvam os conceitos de módulo (ou valor numérico), direção e sentido. Tais elementos são chamados de vetores.

Assim, um vetor é uma associação de três atributos: módulo, direção e sentido.

Dois vetores são iguais quando tiverem o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido.

Um vetor é constante quando tiver módulo constante, direção constante e sentido constante.

O vetor é simbolizado geometricamente por um segmento de reta orientado; a direção e o sentido do segmento orientado são os mesmos da grandeza vetorial, e a medida do segmento orientado é proporcional à intensidade da grandeza vetorial.

: força horizontal dirigida para a direita.

: força vertical dirigida para cima.

|₁| = 2 |₂|

4. Soma de Vetores

Consideremos duas grandezas vetoriais representadas pelos vetores e .

Para somar as grandezas vetoriais, devemos somar os vetores e e obter o vetor soma ou resultante .

A soma de vetores é feita pela regra do paralelogramo e o vetor soma ou resultante tem módulo calculado pela aplicação da lei dos cossenos no triângulo OAC, da figura adiante.

Em particular:

• Quando = 0, temos:

e o vetor resultante tem módulo máximo.

• Quando a = 180°, temos:

, supondo , e o vetor resultante tem módulo mínimo.

• Quando = 90°, o cálculo de || recai no Teorema de Pitágoras.

Do exposto, concluímos que, para qualquer valor de , com , temos:

Se || =10,0N e || =8,0N, então:Exemplificando

Para somarmos vários vetores, é mais simples usar a regra do polígono.5. Soma de n Vetores

Escolhemos um ponto qualquer (O) para começar o polígono. A partir de O, colocamos o vetor que representa ; a partir da extremidade A desse vetor, colocamos o vetor que representa ; a partir da extremidade B desse vetor, colocamos o vetor que representa ; e assim sucessivamente. O vetor soma é o vetor que fecha o polígono, isto é, sua origem é o ponto O e sua extremidade é a extremidade do último vetor representado.

= ₁ + ₂ + ₃ + ₄

6. Soma Nula

Consideremos n vetores , , , …, cuja soma seja nula.

Se usarmos o método do polígono, a condição de soma nula implica que o polígono de vetores seja fechado.

Um caso importante, na Estática, é a condição de equilíbrio de um ponto material: a soma de todas as forças atuantes é nula e, por isso, o polígono de forças deve ser fechado.

Para o caso particular de três forças, com direções diferentes, teremos, por exemplo:

Observe que: para o equilíbrio de um ponto material sob ação de três forças, a condição de polígono de forças fechado (triângulo) implica que as três forças sejam coplanares.

7. Produto de um Escalar por um Vetor

Consideremos uma grandeza escalar e e uma grandeza vetorial .

O produto e tem como resulta do uma grandeza vetorial = e com as seguintes características:

• || = |e| . ||

• direção: a mesma de

• sentido: depende do sinal de e:

e > 0: mesmo sentido de

e < 0: sentido oposto ao de

8. Vetor Oposto

Dois vetores são opostos quando têm mesmo módulo, mesma direção e sentidos opostos.

A soma de vetores opostos é o vetor nulo ().

O vetor –é o vetor oposto de , isto é, o vetor –é o produto de por –1.

É usual representarmos um vetor indicando sua extremidade e sua origem, como se segue:

9. Diferença de Vetores

A diferença de vetores – pode ser transformada em uma soma: + (– ), isto é, para subtrairmos um vetor de um vetor , basta somarmos com o oposto de .

Representando e com a mesma origem, o vetor = – é representado, geometricamente, pelo segmento orientado que vai da extremidade do segmento orientado de para a extremidade do segmento orientado de , como ilustra a figura:

Para e , formando um ângulo a genérico e aplicando a lei dos cossenos, obtemos o módulo de .

10. Decomposição de um Vetor em Duas Direções Perpendiculares

Seja o vetor inclinado de a em relação ao eixo Ox e inclinado de b em relação ao eixo Oy.

_x = componente de segundo Ox.

_y = componente de segundo Oy.

Da figura, temos:

sen a = ; cos a =

sen b = ; cos b =

Portanto:

11. Versor

Denomina-se versor um vetor unitário (módulo igual à unidade) usa do para definir uma direção e sentido.

= versor do eixo Ox

= versor do eixo Oy

O vetor pode ser representado como se segue:

= _x + _y = V_x + V_y

O módulo de é obtido por Pitágoras:

O uso de versores é útil no caso e soma ou subtração de vetores.

A título de exemplo, consideremos os vetores ₁ e ₂ indicados e mescala, na figura acima.

Adotando os versores e assinalados, temos:

₂ = 5,0 + 7,0 (cm/s)

₁ = -2,0 + 7,0 (cm/s)

₂ + ₁= 3,0 + 14,0 (cm/s)

₂ - ₁ = 7,0 (cm/s)

Exercícios Propostos

1. (UNIFOR-CE-MODELO ENEM) – Grandezas físicas são aquelas que podem ser medidas, ou seja, que descrevem quantitativamente a propriedade observada no estudo do fenômeno físico. Em estudos físicos, elas se apresentam nas formas vetoriais ou escalares. Analise as proposições abaixo e assinale a alternativa que apresenta apenas grandezas vetoriais.

a) Força, tempo, trabalho e massa.

b) Energia, área, campo elétrico e volume.

c) Volume, pressão, energia e temperatura.

d) Velocidade, aceleração, força e campo elétrico.

e) Aceleração, área, velocidade e pressão.

2. (VUNESP-UNIMES-MODELO ENEM) – A figura mostra a vista aérea de um navio de carga e dois rebocadores, que o manobram conjuntamente, atados por cabos no mesmo ponto da proa do navio.

Os rebocadores A e B exercem forças de intensidades iguais a 8,0 . 10⁴N e 6,0 . 10⁴N, respectivamente. A ação conjunta dos rebocadores corresponde a uma força resultante de intensidade, em newtons, de

a) 5,0 . 10⁴

b) 1,0 . 10⁵

c) 1,4 . 10⁵

d) 2,5 . 10⁵

e) 2,8 . 10⁵

3. (UFPI-MODELO ENEM) – As formigas costumam trabalhar em grupo. Considere que a figura abaixo represente um grupo de formigas carregando uma folha e que as forças mostradas, exercidas pelas formigas sobre a folha, sejam coplanares e de mesmo módulo F.

A folha parte do repouso.

É correto afirmar que a folha

a) encontra-se em equilíbrio.

b) desloca-se para a esquerda sob a ação de uma força resultante de módulo 2F.

c) desloca-se para a esquerda sob a ação de uma força resultante de módulo F.

d) desloca-se para cima sob a ação de uma força resultante de módulo F.

e) desloca-se para cima sob a ação de uma força resultante de módulo 1,5F.

4. (ETEC-MODELO ENEM) – O Exército Brasileiro possui unidades em todos os estados da federação, podendo realizar, por via aérea, o transporte de soldados ou equipamentos de um local a outro país.

Figura 1

Figura 2

Nas figuras 1 e 2 foram traçadas malhas quadriculadas idênticas. Sobre a malha quadriculada da figura 1, está desenhado o mapa do Brasil. Na malha quadriculada da figura 2, estão representados os possíveis vetores deslocamentos a serem realizados.

Suponha que uma aeronave decole do ponto destacado na figura 1 pelo símbolo situado na divisa entre o Mato Grosso do Sul e o Paraná, e siga sucessivamente os deslocamentos indicados pelos vetores , , e , nessa ordem.